Критерий Коши существования конечного предела

Предел функции

Определение. Пусть D – некоторое множество точек пространства Rⁿ. Если для " xÎD по некоторому закону сопоставлено единственное число uÎR, то говорят, что задана функция, определенная на множестве D. При этом пишут

u=f (x) =f (x ₁ ,x ₂ ,…,x_n),

D называется областью определения функции f.

Функция осуществляет отображение множества D на некоторое множества из R ¹.

В случае функции двух переменных z=f (x, y), определенной на множестве D, можно ввести понятие графика функции. Графиком называют геометрическое место точек (x, y, f (x, y)), (x, y) Î D. Геометрически, график функции может представлять собой некоторую поверхность (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Для исследования поверхности бывает удобно пользоваться линиями уровня. Для заданной поверхности линией уровня z=z ₀ называется “кривая”, заданная уравнением z ₀ =f (x, y).

Определение. Пусть f определена на DÌ Rⁿ, и x ⁰ – предельная точка множества D. Число A называется пределом функции f при x® x ⁰, если

"e>0$d>0" x Î D Ç :|f (x) - A |<e.

Пишут.

Если предел существует, то он единственен.

Аналогично тому, как это делалось для функции одного переменного, определяются пределы с участием символов ¥. Окрестностью ¥ называется множество U_r (¥) = { xÎRⁿ:r(x, q)> r }, - начало координат.

,

Примеры.;" N $d>0" x Î D, 0<r(x,x ⁰)<d: |f (x) |>N.

;"e>0$ r " x Î D, r(x, q)> r:| f (x) -A |<e, q=(0,0,…,0).

Определение предела по Гейне.. Для любой последовательности типа Гейне { x^k } выполнено.

В этом определении a может быть точкой или символом ¥, A – может быть числом или символами ¥, +¥, -¥. Последовательность типа Гейне определяется, как последовательность, удовлетворяющая условиям:

1) x^k Î D, 2) x^k ¹ a, 3).

Можно показать, что определение по Гейне и по Коши эквивалентны.

Для существования конечного предела необходимо и достаточно, чтобы

"e>0$d>0" x ¢ ,x ¢¢Î D Ç :|f (x ¢¢) - f (x ¢) |< e.

Доказательство проводится так же, как и для функции одного переменного.

Необходимость. e>0, для e/2 существует" x ÎÇ D:|f (x) - A |<e/2.Для x ¢ ,x ¢¢ÎÇ D получим требуемое неравенство |f (x ¢) - f (x ¢¢) |<|f (x ¢) - A|+|f (x ¢¢) - A |<e/2+e/2=e.

Достаточность. Пусть { x^k } последовательность типа Гейне. Тогда { f (x^k)}

будет удовлетворять условию Коши для последовательностей, поэтому существует некоторый предел. Докажем, что для любой другой последовательности типа Гейне { y^k } как в Гейне предел будет также равен B. Составим последовательность

Эта последовательность будет последовательностью типа Гейне и, как уже доказано, предел должен существовать. Тогда все частичные пределы должны совпадать, в частности, =.