Касательная к поверхности, заданной неявно

Неявные функции многих переменных

Определение. Неявная функция, заданная уравнением F (x ₁ ,x ₂ ,…,x_n,y)=0 (или кратко)

F (x,y)=0 (6.3)

определяется, как функция y=f (x) =f (x ₁ ,x ₂ ,…,x_n) при подстановке которой в уравнение (6.3), оно превращается в тождество на некотором множестве, т. е.

F (x ₁ ,x ₂ ,…,x_n, f (x ₁ ,x ₂ ,…,x_n))=0, или кратко, F (x,f (x))=0 при x Î D.

Теорема 2. Пусть

1) F(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в окрестности U (M ⁰) точки M ⁰ = (x ⁰ ,y ⁰)=, x⁰=

2) F (M ⁰)=0,

3).

Тогда существует окрестность U _d(x ⁰) и единственная функция, определенная в этой окрестности y = f (x), такая, что

" xÎ U _d(x ⁰): F (x,f (x))=0 и y ⁰ = f (x ⁰).

Эта функция дифференцируема в точке x ⁰ и ее производные определяется по формуле

.

Доказательство. Для определенности будем считать, что. Пусть в U _h(M ⁰)выполнены условия теоремы и, положим d¢ = h/2. Тогда цилиндр содержится в U _h(M ⁰)так как

r(M,M ⁰)= <.

Так как в этом цилиндре, то функция F (x ⁰ ,y)строго возрастает на [ y ⁰ - d¢, y ⁰ + d¢]. В центре этого отрезка функция равна нулю, поэтому F (x ⁰, y ⁰ - d¢) < 0, F (x ⁰, y ⁰ + d¢) > 0.Функции F (x, y ⁰ - d¢), F (x, y ⁰ + d¢)непрерывны по x и поэтому сохраняют знак в окрестности точки x⁰. таким образом, существует d < d¢ " x Î U _d(x ⁰): F (x, y ⁰ - d¢) < 0, F (x, y ⁰ + d¢) > 0. Тогда для "Î U _d(x ⁰)функция F (,y), как функция y, имеет на [ y ⁰ –d¢, y ⁰+ d¢] единственный ноль, F (,) = 0(промежуточное значение строго монотонной функции). Функция, действующая на U _d(x ⁰)является искомой. В силу единственности нуля f (x ⁰) = y ⁰. Построенная функция является функцией неявно заданной уравнением F (x,y)=0в окрестности U _d(x ⁰). Докажем дифференцируемость этой функции. В окрестности точки M ⁰справедливо равенство

D F=.

Если в этом равенстве положить D y= D f=f (x) – f (x ⁰), где x= то D F = 0и все D x_k= 0кроме одного при k=j

Откуда

.

Переходя к пределу при M® M ⁰получим требуемое равенство.

Замечание. При выполнении условий теоремы построенная функция будет принадлежать классу C ¹ в некоторой окрестности точки x ⁰.

Действительно, условия теоремы будут выполнены, если в качестве точки (x ⁰ ,y ⁰)взять любую точку (x, f (x)), x Î. Для таких точек будут выполнено равенство

,

где правая часть является непрерывной функцией.

Рассмотрим поверхность заданную неявно уравнением

F (x, y, z) = 0. (6.4)

Будем предполагать выполненными условия теоремы существования неявной функции в окрестности точки P ⁰ = (x ⁰, y ⁰)(, M ⁰ = (x ⁰, y ⁰, z ⁰), z ⁰ =f (x ⁰, y ⁰)). Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M ⁰, будет иметь вид

. (6.5)

С другой стороны, для неявно заданной функции

,.

Подставляя эти выражения в (6.5)получим

или

. (6.6)

Отсюда следует следующее правило для построения касательной плоскости к поверхности, заданной неявно.

Нужно взять дифференциал левой и правой части уравнения (6.4)

dF= 0

и в полученном выражении частные производные вычислить в интересующей нас точке поверхности M ⁰, а дифференциалы dx, dy, dz нужно заменить на (x-x ⁰), (y-y ⁰), (z-z ⁰)соответственно.

Замечание. Формула (6.6) будет справедлива и в случаях, когда уравнение (6.4) можно разрешить относительно y (в случае выполнения условия) или относительно x (при выполнении условия).