Существование неявной функции одного переменного

Якобиан обратного отображения

Свойства матрицы Якоби и якобиана

Матрица Якоби отображения, якобиан

Рассмотрим систему из p функций

, или кратко y=f (x) (6.1)

заданных на открытом множестве DÌRⁿ с областью значений D*, D* = { y Î R^p: y= f (x), xÎD }.Таким образом, задано отображение f: D®D*. Если для каждой точки yÎD* существует единственное x Î D такое, что y=f (x), то существует обратное отображение f ^-1: D* ® D. Говорят, что отображение или функция y=f (x) принадлежит классу C ¹(или непрерывно дифференцируемо), если непрерывно дифференцируемы все функции f_k (x). Матрица Якоби отображения f определяется, как матрица типа p n

Ф=Ф _f = =.

Если p=n, то определитель этой матрицы называется якобианом отображения и обозначается

detФ =.

Примеры отображений

1) Тождественное отображение. Матрица Якоби – единичная матрица, якобиан = 1.

2) Кривая в n –мерном пространстве представляет собой отображение из R в Rⁿ. Матрица Якоби представляет собой вектор столбец, являющийся касательным вектором к данной кривой в соответствующей точке.

3) Поверхность в 3-мерном пространстве. Отображение R ² ®R ³. Главные миноры матрицы Якоби являются координатами касательного вектора к поверхности.

Если имеются два отображения j: D® D,DÌRⁿ ( или x= j(t), t ÎD ÌR^m) и f: D®D*ÌR^p (или y=f (x) ,x Î D), то можно говорить о суперпозиции отображений y=f (j(t)), действующим из D в D*.

Пусть определена суперпозиция F (t) = f (j(t) ,, D ÌR^m,DÌRⁿ,D*ÌR^p и оба отображения принадлежат классу C ¹ _.

Теорема. Имеет место формула. Если m=n=p, то

.

Доказательство. По правилу дифференцирования сложной функции

. Эти равенства соответствуют правилу перемножения матриц

Свойство якобианов следует из теоремы об определителе произведения матриц.

Рассмотрим отображение y=y (x)из Rⁿ в Rⁿ и предположим, что у него существует обратное отображение x=x (y). Будем также предполагать, что эти отображения непрерывно дифференцируемы.

,.

Тогда справедлива формула

или.

Утверждение следует из ранее упомянутого свойства матриц Якоби и того факта, что тождественное отображение имеет якобиан = 1.

6.2. Неявные функции

Неявные функции и неявные отображения. Вычисление производных и дифференциалов неявных функций и отображений.

Пусть F (x,y)определена в окрестности U (M ⁰)точки M ⁰=(x ⁰ ,y ⁰). Если

$d > 0 " x Î(x ⁰ - d, x ⁰ + d) $ y_x: F (x, y_x)=0,

то говорят, что уравнение

F (x,y) = 0 (6.2)

определяет на (x ⁰ - d, x ⁰ + d) функцию y =y_x = f (x), заданную неявно. По определению

F (x, f (x)) = 0 " x Î (x ⁰ - d, x ⁰ + d).

Рис. 6.1

Геометрический смысл. В окрестности точки M ⁰график функции y=f (x) представляет собой линию пересечения поверхности z=F (x,y) с координатной плоскостью z= 0(слайд «Неявное задание»).

Неявное задание

Теорема 1. Пусть

1) F (x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в окрестности U (M ⁰) точки M ⁰(x ⁰ ,y ⁰),

2) F (M ⁰)=0,

3).

Тогда существует окрестность (x ⁰ - d, x ⁰ + d) и единственная функция, определенная в этой окрестности y = f (x), неявно заданная уравнением (6.2), таким образом,

" x Î(x ⁰ - d, x ⁰ + d): F (x, f (x))=0 и y ⁰ = f (x ⁰).

Эта функция дифференцируема в точке x ⁰ и ее производная определяется по формуле

.

Доказательство. Для определенности будем считать, что. Выберем квадрат B= [ x ⁰ - d¢, x ⁰ + d¢]´[ y ⁰ - d¢, y ⁰ + d¢]содержащийся в U (M ⁰)и такой, что в нем.

Рис. 6.2

Тогда функция F (x ⁰ ,y)строго возрастает на [ y ⁰ - d¢, y ⁰ + d¢] (рис. 6.3). В центре этого отрезка функция равна нулю, поэтому F (x ⁰, y ⁰ - d¢) < 0, F (x ⁰, y ⁰ + d¢) > 0.Функции F (x, y ⁰ - d¢), F (x, y ⁰ + d¢)непрерывны по x и поэтому сохраняют знак в окрестности точки x ⁰, таким образом, существует d < d¢ " x Î (x ⁰ - d, x ⁰ + d): F (x, y ⁰ - d¢) < 0, F (x, y ⁰ + d¢) > 0.Тогда для функция F (,y), как функция y,имеет на [ y ⁰ - d¢, y ⁰ + d¢]единственный ноль, (промежуточное значение строго монотонной функции).

Рис. 6.3

Рис. 6.4

Построенная таким образом функция, действующая на (x ⁰ - d, x ⁰ + d),является искомой. Строгая монотоннось обеспечивает единственности нуля для каждого. По построению f (x ⁰) = y ⁰. Найденная функция является искомой функцией, неявно заданной уравнением F (x,y)=0 в окрестности (x ⁰ - d, x ⁰ + d) (рис. 6.4). Докажем дифференцируемость этой функции. В окрестности точки M ⁰справедливо равенство

D F=.

Если в этом равенстве положить D y= D f=f (x) – f (x ⁰), то

0=D F=.

Откуда

. Переходя к пределу при M® M ⁰получим требуемое равенство.

Замечание. При выполнении условий теоремы построенная функция будет принадлежать классу C ¹ в некоторой окрестности точки x ⁰. Действительно, условия теоремы будут выполнены, если в качестве точки (x ⁰ ,y ⁰)взять любую точку (x, f (x)),. Для таких точек, согласно доказанному, будет выполнено равенство

,

где правая часть является непрерывной функцией.