Этот метод можно эффективно использовать для нахождения формул вычисления сумм, когда число слагаемых зависит от n,доказательства тождеств, доказательства неравенств, у которых одна или обе части зависят от n.
Пример 1. Пусть дана последовательность (n)натуральных чисел. Найдем формулу вычисления суммы первых nчисел:
S(n)=l+2 + 3 +... + n.
Решение. Рассмотрим S(1), S(2), S(3), S(4). Мы имеем:
S(l)=l,
S(2)=1+2 = 3,
S(3)=1+2 + 3 = 6,
S(4)=1+2 + 3 + 4=10.
Заметив, что полученные числа можно записать в виде
естественно сделать предположение, что
(1)
Применим теперь метод математической индукции для доказательства полученной формулы (1).
При n = 1: S(1) = 1×2/2=1.
Формула верна при n = 1. Предположим, что формула верна при n = k > 1:
Тогда
'Значит, из справедливости формулы для n = k вытекает ее справедливость для n = k + 1По принципу математической индукции отсюда вытекает справедливость формулы (1) для всех натуральных значений n.
В некоторых случаях для доказательства тождества Р(n) = Q (n)можем сначала убедиться, что Р (1) = Q (1), и, предполагая справедливость равенства P(k)=Q(k),k>1,доказать тождество P(k + 1) = Q(k + 1). Тогда из истинности равенства P(k) = Q(k) будет следовать истинность равенства P(k + 1) = Q(k + 1)и по принципу математической индукции будет следовать истинность тождества P(n)=Q(n)для всех n.
|
|
Пример 2. Рассмотрим последовательность (n2) квадратов натуральных чисел. Докажем справедливость формулы для вычисления суммы первых nчленов этой последовательности:
(2)
Обозначим l2 + 22 + 32 +... + n2 = S (n)и
При n = 1: S(1) = 1, Т.е. S(1) = P(1).
Предполагаем теперь, что равенство верно для n = k, k > 1, т. е. S(k) = P(k).
Рассмотрим разности:
Итак, мы доказали, что S(1) = P(1) и S(k+l) - S (k) = = P (k+1) - P (k).Тогда по принципу математической индукции тождество (2) справедливо для всех n.
Ранее доказанные формулы могут служить источником получения новых формул.
Пример 3. Пусть дана последовательность (n3)кубов натуральных чисел. Выведем формулу для вычисления суммы первых nчленов этой последовательности:
S(n)=l3 + 23 + 33 + … + n3.
Как и в примере 1, рассмотрим суммы S(1), S (2), S (3), S (4). Здесь мы имеем:
S(l)=l,
S(2)=l3 + 23 = 9,
S(3)=l3 + 23 + 33 = 36,
S (4)= 13 + 23 + 33 + 43= 100.
Поскольку мы предполагали, что S(k) = P(k),то отсюда следует равенство S (k+ 1) = P (k + 1). Следовательно, по принципу математической индукции формула (3) справедлива для всех n.