Логические операции над предикатами

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения истина и ложь (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Пусть на некотором множестве М определены два предиката -Р(х) и Q(x).

Определение: Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х)LQ{x), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х Î М, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката P(x)LQ(x) является общая часть областей истинности предикатов Р(х) и Q(x), то есть: I_P_L_Q = Iр Ç Iq.

Соответствующая диаграмма имеет вид:

Примеры:

Для предикатов Р(х): «х – четное число» и Q(x): «х кратно 3» конъюнкцией P(x)LQ(x)

является предикат «х - четное число и х кратно 3», то есть предикат «х делится на 6» и область истинности I_P_L_Q = I_P Ç I_Q = {2, 4, 6, 2n, }Ç {3, 6, 9, 12, 3n,}={6, 12, 18, 6n,}.

Определение. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х)V Q(x), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях х Î М, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина»во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката Р(х)V Q(x) является объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(x), то есть: I_PVQ = Iр È Iq.

Диаграмма:

Пример: Для предикатов Р(х) и Q(x) областью истинности их дизъюнкции является объединение их областей истинности:

I_PVQ = Iр È Iq = {2, 4, 6, 2n,}È {3, 6, 9, 12, 3n,} = {2, 3, 4, 6, 2n, 3n,}.

Определение. Отрицанием предиката Р(х) называется новый предикат , который принимает значение «истина» при всех значениях х Î М, при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь» при тех значениях х Î М, при которых предикат Р(х) принимает значение «истина».

Из этого определения следует, что Диаграмма:

Пример: составим предикат : «х – нечетное число», его область истинности:

Определение. Импликацией предикатов Р{х) и Q(х) называется новый предикат Р(x)® Q(x), который является ложным при тех и только тех значениях х Î М, при которых одновременно Р(х) принимает значение «истина», a Q(x) - значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Так как при каждом фиксированном х Î М справедлива равносильность

Диаграмма: области истинности соответствует заштрихованная часть:

Рассмотрим несколько примеров на нахождение областей истинности предикатов.

1. На множестве М = {1, 2, 3, 4, 20} заданы предикаты:

А(х): «х не делится на5», В(х): «х - простое число», С(х): «х кратно 3». Найти множество истинности предиката:

Найдем области истинности предикатов А(х), В(х) и - «х не кратно 3»:

I_A = {1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,1,14,16,17,18,19};

I_B = {2,3,5,7,11,13,17,19};

CI_c = {1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20}.

В предикате заменим импликацию:

Предикату соответствует формула алгебры множеств:

2.Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна область истинности предиката:

а)

Сначала выполним преобразования, рассматривая предикат как высказывание:

Предикату соответствует область истинности, определяемая формулой алгебры множеств:

С(I_АÇI_BÇI_C).

Диаграмма имеет вид:

Область истинности предиката окрашена серым цветом.

Выполним преобразования:

Предикату соответствует область истинности, определяемая формулой алгебры множеств:

CI_PÈI_QÈI_RÇCI_Q = (CI_PÈI_QÈI_R)Ç(CI_PÈI_QÈ CI_Q) = (CI_PÈI_QÈI_R)ÇU = CI_PÈI_QÈI_R. Соответствующая диаграмма:

Область истинности предиката окрашена.

3. Записать предикат, полученный в результате логических операций над предикатами P(x), Q(x), R(x), области истинности которых заштрихованы:

I_P

I_R

Так как область истинности I = C(I_PÈI_QÈI_R)ÈI_QÇI_RÈI_RÇI_P, то предикат имеет вид

4. Изобразить на координатной плоскости область истинности предиката

Выполним преобразования:

Область истинности предиката х £ 2 - часть плоскости, расположенная левее прямой х = 2 и все точки этой прямой (изобразим ее сплошной линией). Область истинности предиката x < y – часть плоскости, расположенная выше прямой у = х без этой прямой (изобразим ее пунктирной линией). Область истинности данного предиката – пересечение описанных областей истинности:

б) ((х>2)(y³1))V((x<-1)(y<-2)). Составим соответствующую формулу алгебры множеств, обозначив (x>2) = P(x,y), (y³1) = Q(x,y), (x<-1) = R(x,y), (y<-2) = S(x,y):

I = I_PÇI_QÈI_RÇI_S. Область истинности заштрихована:

Задачи для самостоятельного решения

1. Для следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истинности, если область определения для одноместного М=R, для двухместного M=R²:

1) х+5=1;

2) при х=2 выполняется равенство х² – 1 = 0;

3) существует такое число х, что х² – 2х + 1 =0;

4) х² – 2х + 1 =0;

5) х+2

6) однозначное число х кратно 3;

7) (х+2)-(3х-4);

8) х² + у² >0.

2. Какие из предикатов тождественно истинны?

a. х² + у²³ 0;

b. sin²x + cos²x =1;

c. x² + 1³(x+1)²;

d. х² + у²> 0;

e. (x+1)²>x-1.

3. Найти области истинности предикатов, если хÎR:

4. Изобразить на декартовой плоскости области истинности предикатов:

1) х+у=1;

2) х+3у=3;

3) sinx=siny;

4) (x-2)²+(y+3)²=0;

5) (x-2)²+(y+3)²£4;

6) ((x>2)v(y>1))((x<-1)v(y<-2)).

5.На множестве М = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} заданы предикаты А(х): «х не делится на 5», В(х): «х – четное число», С(х): «х кратно 3». Найти множество истинности предиката: А(х)VB(x)®C(x).

6. Изобразить на диаграмме Эйлера - Венна область истинности предиката: (P(x)®Q(x))VR(x)