Полная факторная матрица

^{ОБЩИЕ ФАКТОРЫ ХАРАКТЕРНЫЕ ФАКТОРЫ}

Редуцированная факторная матрица включает в себя только левую часть полной факторной матрицы, то есть без характерных факторов.

Так как в факторном анализе основное внимание уделяется общим факторам, то, как правило, для выделения фактора используют корреляционную редуцированную матрицу и факторную редуцированную матрицу.

Если выделять факторы в полной матрице, то можно получить столько факторов, сколько переменных, то есть каждая переменная будет находиться в одном факторе, и, следовательно, вся процедура теряет смысл. Ранг такой матрицы равен количеству строк.

Ранг редуцированной матрицы равен максимальному количеству факторов, которые можно выделить.

При выделении факторов цель состоит в переходе от редуцированной матрицы корреляции к редуцированной факторной матрице, которая позволит определить:

1) сколько общих факторов необходимо для отражения всех корреляций между переменными изучаемой серии. Число общих факторов равно общему числу столбцов редуцированной факторной матрицы

2) каковы нагрузки каждого фактора для разных переменных. Нагрузки всех факторов для одной переменной образуют строки факторной матрицы.

В основе процедуры факторного анализа лежит уравнение для некоррелированных факторов, его называют основным уравнением факторного анализа:

где R – редуцированная корреляционная матрица

F – редуцированная факторная матрица

F^T – транспонированная редуцированная факторная матрица

Теорема: редуцированная матрица корреляции равна произведению редуцированной факторной матрицы на транспонированную.

Методы решения основного уравнения факторного анализа называются методами факторизации. В настоящее время чаще используются 2 метода: центроидный и метод максимального правдоподобия.

Представляет интерес проблема минимального числа переменных n (вопросов), необходимых для однозначного определения m факторов. Ответ на этот вопрос дает формула Тэрстоуна:

В приведенной ниже таблице даны значения n, соответствующие различным m:

Если преобразовать приведенную формулу для получения m факторов в случае n переменных, то есть если известно количество вопросов (переменных), то можно узнать максимально возможное количество факторов, которое можно выделить:

На практике целесообразно оперировать числом переменных, превышающих минимально необходимое для определения данного числа факторов.