Язык логики предикатов

Тема 3. Формализованные логические языки

Формализованный язык классической логики предикатов является фрагментом и результатом некоторой реконструкции естественного языка. Специфика его состоит, прежде всего, в наличии точных правил построения высказываний (формул) и сложных имен (термов). Этот язык предназначен для аксиоматического построения теорий, для анализа содержания высказываний естественного языка и выявления логических отношений между ними, для описания правил рассуждения, построения выводов и доказательств и т.д.

Язык классической логики предикатов обычно характеризуют как символический язык, потому что здесь используется особая символика.

Исходные символы:

p, q, r, s, p ₁... – пропозициональные переменные (символы для обозначения целых повествовательных предложений);

a, b, c, d, a ₁... – предметные константы (символы для обозначения единичных имен);

x, y, z, x ₁... – предметные переменные (символы для обозначения общих имен);

P, Q, R, S, P ₁... – предикатные символы (символы для обозначения свойств и отношений);

ù - логическое отрицание («не» или «неверно, что»);

Ù - конъюнкция («и»);

Ú - дизъюнкция («или»);

Ú - строгая дизъюнкция («либо…, либо…»);

É - импликация («если…, то…»);

º - тождество (эквивалентность) («тогда и только тогда, когда…»);

" - квантор всеобщности («все», «каждый»);

$ - квантор существования («некоторые», «существуют»);

Помимо этого в записи используются технические знаки: скобки и запятая.

Выражения языка логики предикатов называются формулами. Определению правильно построенной формулы предшествует определение терма.

Термы (индуктивное определение):

1) любая предметная переменная и предметная константа есть терм;

2) если t ₁, t ₂, … t _n есть термы и f ⁿ есть n-местный предметный функтор, то f ⁿ(t ₁, t ₂, … t _n) есть терм;

3) ничто, кроме указанного в пунктах 1 и 2, не есть терм.

Формулы (индуктивное определение):

1) если t ₁, t ₂, … t _n есть термы и Р ⁿ – n-местный предикатор, то P ⁿ(t ₁, t ₂, … t _n) есть формула (атомарная);

2) если А и В – формулы, то (А É В), (А Ù В), (А Ú В), ù А – формулы;

3) если х есть предметная переменная и А – формула, то " хА и $ хА – формулы;

4) ничто, кроме указанного в пунктах 1 – 3, не есть формула.

Использованные в определениях терма и формулы символы t ₁, t ₂, … t _n и f ⁿ, P ⁿ, А, В, х – знаки метаязыка.

Метаязык – это язык, на котором говорят о другом языке. Например, в учебнике английского языка для русских метаязыком является как раз русский язык, а английский в этом случае будет называться объектным. Объектный язык – это язык, описание которого происходит с помощью метаязыка. Если взять учебник русского языка для англичан, то объектным в нем является русский язык, а метаязыком – английский.

При переводе высказываний на язык логики предикатов существует различие между записью признаков-свойств и признаков-отношений.

Тот факт, что предмету а принадлежит свойство Р, на языке логики предикатов запишется Р (а), а то, что предмету b принадлежит свойство Q – Q (b). То, что некоторое свойство Р принадлежит произвольному предмету х из некоторой, выбранной нами области, запишется Р (х).

Пример 1. Высказывание «Это дерево высокое» на языке логики предикатов запишется так: Р (а), где а – «это дерево»; Р – «высокое».

Пример 2. «Некоторые деревья высокие» на языке логики предикатов запишется формулой $ хР (х), где х – «деревья»; Р – «высокие»; $ - квантор существования, указывающий на то, что в высказывании речь идет только о некоторых элементах множества «деревья».

То, что между двумя произвольными предметами х и у существует отношение R, запишется R (x, y).

Пример 3. Высказывание «Каждое положительное число больше любого отрицательного» в виде формулы можно представить так: " х " уR (х, у), где х – «положительные числа»; у – «отрицательные числа»; R – отношение «быть больше».

Пример 4. «Пять больше трех» на языке логики предикатов запишется R (a, b), где а – «пять»; b – «три»; R – «быть больше».

Пример 5. «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом». В этом высказывании имеет место отношение между тремя предметами «Москва», «Петербург», «Екатеринбург». Формула высказывания будет следующей: R (a, b, c), где a – «Москва»; b – «Петербург»; c – «Екатеринбург»; R – отношение «быть расположенным между».

Формулы Р (а), Р (х), R (х, у), R (a, b, c) и т.д. называются предикатами. Предикат следует отличать от предикатора. Предикаторы (см. тему 2) являются составными частями предикатов. Разница между ними заключается в том, что если речь идет о характеристиках (свойствах и отношениях, а также характеристиках предметно-функционального типа) без отнесения их к определенным предметам, то они называются предикаторами. Если же мы говорим о предикатах, то подразумеваем характеристики определенных, данных предметов. Таким образом, в отличие от предикаторов, предикаты – это не просто знаки свойств или отношений, а знаки признаков. Например, слово «белый» как знак отвлеченного от предметов свойства является предикатором, а как знак признака предмета «свитер» («белый свитер») или «снег» («белый снег») – предикатом.

Знаки свойств называются одноместными предикатами. Знаками отношений являются многоместные предикаты. Так, предикаты Р (а) и Р (х) – одноместные. Предикаты R (х, у) и R (a, b, c) – многоместные: R (х, у) – двухместный предикат; R (a, b, c) – трехместный. Часто местность предиката указывают верхним индексом: R ²(х, у), R ³(a, b, c).

При записи высказываний на языке логики предикатов нужно иметь в виду, что в логике принято различать атрибутивные и реляционные свойства. Атрибутивные свойства представляют собой характеристики предметов самих по себе, например: «является человеком», «жидкий», «способный» и т.д. Реляционные свойства всегда образуются из некоторого отношения и указывают на наличие или отсутствие отношения данного предмета к каким-то другим предметам.

Пример 6. Высказывание «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом» можно записать формулой R ₁(а), где а – «Москва»; R ₁ – реляционное свойство «быть расположенным между Петербургом и Екатеринбургом». Нетрудно заметить, что одноместный предикат R ₁(а), который представляет реляционное свойство, образуется из многоместного (в данном случае трехместного) предиката R (a, b, c).

Пример 7. Высказывание «Всякий студент знает какой-нибудь иностранный язык» может быть записано на языке классической логики предикатов в следующем виде:

" х $ yR (x, y),

где х употребляется вместо «студент», у - вместо «иностранный язык», R является знаком отношения «знает».

Классы студентов и иностранных языков называются областями значений соответственно х и у.

Информацию, заключенную в исходном высказывании, можно выразить более подробно:

" x (P (x) É $ y (Q (y) Ù R (x, y))),

где P и Q обозначают теперь соответственно «студент» и «иностранный язык», рассматриваемые как знаки свойств (т.е. одноместные предикаторы), а х и у имеют единую область значений – множество «объектов вообще».

Пример 8. Высказывание «Если какое-то тело вторгается в атмосферу Земли, то оно вспыхивает» на языке логики предикатов запишется так:

" x (P (x, a)É Q (x)),

где Р – отношение «вторгается»; Q – «вспыхивает»; а – «атмосфера Земли»; х – «тело».