Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана. Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.
Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:
Рассмотрим определение моды и медианы по не сгруппированным данным.
Предположим, что 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оптовым ценам (тыс. руб.).
4,4 4,3 4,4 4,5 4,3 4,3 4,6 4,2 4,6
Так как чаще всего встречается цена 4,3 тыс. руб., то она и будет модальной.
Для определения медианы необходимо провести ранжирование:
4,2 4,3 4,3 4,3 4,4 4,4 4,5 4,6 4,6
Центральной в этом ряду является цена 4,4 тыс. руб., следовательно, данная цена и будет медианой. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.
|
|
Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана практически выполняет функции средней для неоднородной, не подчиняющейся нормальном закону распределения совокупности. Она также используется в тех случаях, когда средняя не позволяет объективно оценить исследуемую совокупность вследствие сильного влияния максимальных и минимальных значений. Проиллюстрируем познавательное значение медианы следующим примером.
Допустим, нам необходимо дать характеристику среднего дохода группы людей, насчитывающей 100 человек, из которых 99 имеют доходы в интервале от 100 до 1000 $ в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50000 $:
№ п/п 1 2 3 4 … 50 51 … 99 100
Доход 100 104 104 107 … 162 164 … 200 50000
($)
Если мы воспользуемся средней арифметической, то получим средний доход, равный примерно 600-700 $, который не только в несколько раз меньше дохода 100-го человека, но и имеет мало общего с доходами остальной части группы. Медиана же, равная в данном случае 163 $, позволит дать объективную характеристику уровня доходов 99% данной совокупности людей.
Рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения).
Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид:
Цена, руб. | Число торговых предприятий |
Всего |
Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда – наибольшую частоту (60 предп.) имеет цена 55 руб., следовательно, она и является модальной.
|
|
Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда:
(6.16.)
где n – объем совокупности.
В нашем случае
Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 95 и 96 предприятиями. Необходимо определить, в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 торговых предприятий, нет их и во второй группе (12+48=60). 95-ое и 96-ое предприятия находятся в третьей группе (12+48+56=116) и, следовательно, медианой является цена 54 руб.
В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведение отдельных расчетов на основе следующих формул:
(6.17.)
где - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);
i – величина модального интервала;
- частота модального интервала;
- частота интервала, предшествующего модальному;
- частота интервала, следующего за модальным.
и
(6.18.)
где - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);
i – величина медианного интервала;
- накопленная частота интервала, предшествующая медианному;
- частота медианного интервала.
Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные таблицы 6.5.
Информация, подобная представленной в этой таблице, необходима для получения четкого представления о покупательной способности населения страны или региона, для оценки эластичности спроса и, в конечном итоге, для выбора того или иного метода ценообразования и обоснования окончательной цены на товар.
Таблица 6.5.