Виды числовых множеств. Окрестность точки

III. Непрерывность вещественных чисел.

II. Сравнение вещественных чисел.

Для любых двух различных вещественных чисел а и b установлено одно из отношений: а = b, а > b или b > а (равенство или больше).

Отношение = обладает транзитивным свойством: если а = b и b = с, то а = с.

Отношение > обладает следующими свойствами.

Каковы бы ни были числа a, b и с:

10) Если а > b и b > с, то а > с.

11) Если а > b, то а + с > b + с.

12) Если а >0 и b >0, то а · b >0.

Вместо а > b пишут также b < a (меньше).

Запись а ³ b (или, что то же, b £ а) обозначает, что либо а = b, либо a > b.

Определение 4: Соотношения а < b, а £ b, a > b, a ³ b называются неравенствами.

Определение 5: Неравенства а < b, a > b называются строгими неравенствами. Неравенства а £ b, a ³ b называются нестрогими неравенствами.

Определение 6: Число а, удовлетворяющее неравенству а >0, называется положительным, неравенству а <0,— отрицательным, неравенству а ≥0,— неотрицательным, неравенству а ≤0,— неположительным.

13) Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел х Î Х и y Î Y выполняется неравенство х £ у, то существует хотя бы одно число с, такое, что для любых чисел х и у выполняются неравенства

х £ с £ у.

Следует заметить, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных чисел, но им не обладает множество только рациональных чисел.

Из свойств I—III вытекают все остальные свойства вещественных чисел.

Определение 7: Вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойствами I—III. Такое определение вещественных чисел называется аксиоматическим, а свойства I—III — аксиомами вещественных чисел.

Пусть а и b — два числа, причём а < b. Будем использовать следующие обозначения:

Конечные числовые промежутки
1.	{ x | a £ x £ b }=[ a; b ]	замкнутый промежуток (интервал)	отрезок	сегмент
2.	{ x | a < x £ b }=(a; b ]	полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал)	полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок	полусегмент
3.	{ x | a £x< b }=[ a; b)	полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал)	полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок	полусегмент
4.	{ x | a < x < b }=(a; b)	открытый промежуток (интервал)
Бесконечные числовые промежутки
5.	{ x | a £ x }=[ a; +¥)	полуинтервал	закрытый луч	полупрямая
6.	{ x | a < x }=(a; +¥)	интервал	открытый луч	полупрямая
7.	{ x | x £ b }=(-¥; b ]	полуинтервал	закрытый луч	полупрямая
8.	{ x | x < b }=(-¥; b)	интервал	открытый луч	полупрямая
9.	{ x | -¥< x <+¥}=(-¥; +¥)	множество всех вещественных чисел	числовая прямая	прямая

Все эти множества называются промежутками (интервалами).

Определение 1: Промежутки [ a; b ], (a; b ], [ a; b) и (a; b) называются конечными; а и b — их концы.

Остальные промежутки называются бесконечными.

Открытый интервал (a; b) отличается от отрезка [ a; b ] тем, что ему не принадлежат концы и интервал (а, b) не содержит ни наибольшего, ни наименьшего числа, в то время как в отрезке [ а, b ] такими числами являются соответственно b и а.

Пусть х ₀ — любое действительное число.

Определение 2: Окрестностью точки х ₀ называется любой интервал (a; b), содержащий точку х ₀. В частности, интервал (х ₀- e; х ₀+ e), где e >0 называется e -окрестностью точки х ₀. Число х ₀ называется центром, а число e — радиусом.

Если х Î(х ₀- e; х ₀+ e), то выполняется неравенство х ₀- e < х < х ₀+ e, или, что то же, | х - х ₀|< e.

Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х ₀ в e -окрестностью точки х ₀.

Проколотой окрестностью точки х ₀ называется такая окрестность точки х ₀, из которой удалена сама точка х ₀.