I. Сложение и умножение вещественных чисел

Основные свойства вещественных чисел.

Действительные числа

Определение 3: Для любой пары а и b вещественных чисел определены, и притом единственным образом, два вещественных числа a + b и а · b, называемые их суммой и произведением, обладающими следующими свойствами.

Каковы бы ни были числа a, b и с:

1) a + b = b + a (переместительное свойство) — коммутативность сложения.

2) a +(b + c)=(a + b)+ c (сочетательное свойство) — ассоциативность сложения.

3) a · b = b · a (переместительное свойство) — коммутативность умножения.

4) a ·(b · c)=(a · b)· c (сочетательное свойство) — ассоциативность умножения.

5) (a + b)· c = a · c + b · c (распределительное свойство) — дистрибутивность умножения относительно сложения.

6) Существует единственное число 0 такое, что a +0= a для любого числа а.

7) Для любого числа а существует такое число - а, что а +(- а)=0.

8) Существует единственное число 1¹0 такое, что для любого числа а имеет место а ·1= а.

9) Для любого числа а ¹0 существует такое число a ^-1, что а · a ^-1=1.

Замечание: Числа - а и а ^-1 (противоположное и обратное) единственны.