Аппроксимация производных

Аппроксимация производных - вторая большая область применения разностных операторов. Оценки первой, второй и третьей производной можно производить по простейшим формулам дифференцирования:

(s_n)' = (s_n+1-s_n-1)/2Dt. h1 = {-0.5, 0, 0.5}. (10.2.4)

(s_n)'' = (s_n+1-2s_n+s_n-1)/Dt. h2 = {1, -2, 1}.

(s_n)''' = (-s_n+2+2s_n+1-2s_n-1+s_n-2)/2Dt. h3 = {0.5, -1, 0, 1, -0.5}.

Рис. 10.2.8.

Оператор первой производной является нечетной функцией и имеет мнимый спектр. Если принять s(t) = exp(jwt), то истинное значение первой производной должно быть равно: s'(t) = jw exp(jwt). Передаточная функция H(w) = jw. Оценка первой производной в точке n = 0 по разностному оператору при Dt = 1: s'(0) = (exp(jw)-exp(-jw))/2 = j sin w = H1(w). Отношение расчетного значения к истинному на той же точке: K1(w) = sin(w)/w. Графики функций в правой половине главного диапазона приведены на рис. 10.2.8.

Как следует из приведенных выражений и графиков, значение К(w) равно 1 только на частоте w = 0. На всех других частотах в интервале Найквиста формула дает заниженные значения производных. Однако при обработке практических данных последний фактор может играть и положительную роль, если сигнал низкочастотный (не более 1/3 главного диапазона) и зарегистрирован на уровне высокочастотных шумов. Любое дифференцирование поднимает в спектре сигнала долю его высокочастотных составляющих. Коэффициент усиления дисперсии шумов разностным оператором дифференцирования непосредственно по его спектру в главном диапазоне:

K_q = (1/p)(sin w)² dw = 0.5

При точном дифференцировании по всему главному диапазону:

K_q = (1/p)w² dw = 3.29

Следовательно, разностный оператор имеет практически в шесть раз меньший коэффициент усиления дисперсии шумов, чем полный по главному диапазону точный оператор дифференцирования.

На рис. 10.2.9 показан пример дифференцирования гармоники с частотой 0.1 частоты Найквиста (показана пунктиром) и этой же гармоники с наложенными шумами (сплошная тонкая кривая).

Рис. 10.2.9. Пример дифференцирования (входные сигналы – вверху, выходные – внизу).

Рис. 10.2.10. Частотные функции 2-ой производной.

Оператор второй производной относится к типу четных функций. Частотная функция оператора: H2(w) = -2(1-cos w). Собственное значение операции H(w) = -w². Отношение фактического значения к собственному

K2(w) = [sin(w/2)/(w/2)]²

и также равно 1 только на частоте w = 0. На всех других частотах в интервале Найквиста формула дает заниженные значения производных, хотя и меньшие по относительным значениям, чем оператор первой производной. Частотные графики функций приведены на рис. 10.2.10. Коэффициент усиления дисперсии шумов оператором второй производной равен 6 при собственном значении дифференцирования, равном 19.5. Эти значения показывают, что операция двойного дифференцирования может применяться только для данных, достаточно хорошо очищенных от шумов, с основной энергией сигнала в первой трети интервала Найквиста.

В принципе, вторую производную можно получать и после- довательным двойным дифференцированием данных оператором первой производной. Однако для таких простых операторов эти две операции не тождественны. Оператор последовательного двойного дифференцирования можно получить сверткой оператора первой производной с самим собой:

h1² = h1_* h1 = {0.25, 0, -0.5, 0, 0.25},

и имеет коэффициент усиления дисперсии шумов всего 0.375. Частотная характеристика оператора:

H1²(w) = 0.5[1-cos(2w)].

Графики H1²(w) и коэффициента соответствия K1²(w) приведены пунктиром на рис. 10.2.10. Из их сопоставления с графиками второй производной можно видеть, что последовательное двойное дифферен- цирование возможно только для данных, спектральный состав которых занимает не более пятой начальной части главного диапазона.

Рис. 10.2.11. Вторая производная гармоники с частотой w=0.2p при Dt=1

(пунктир – двойное последовательное дифференцирование)

Пример применения двух операторов второй производной приведен на рис. 10.2.11.

Попутно заметим, что частота Найквиста главного диапазона обратно пропорциональна интервалу Dt дискретизации данных (w_N = p/Dt), а, следовательно, интервал дискретизации данных для корректного использования простых операторов дифференцирования должен быть в 3-5 раз меньше оптимального для сигналов с известными предельными частотами спектрального состава.

Частотные функции для третьей производной предлагается получить самостоятельно.