Интегрирование сигналов реализуется рекурсивными цифровыми фильтрами. Рассмотрим примеры анализа интегрирующих операторов.
Алгоритм интегрирования по формуле трапеций при нулевых начальных условиях:
yk+1 = yk+(sk+1+sk)/2. (10.3.1)
Принимая sk = exp(jwt) и yk = H(w)exp(jwt), подставляем сигналы в (10.3.1) при tk = kDt, Dt = 1 и решаем относительно H(w). Получаем:
H(w) = (exp(jw)+1)/[2(exp(jw)-1)].
H(w) = cos(w/2)/[2j sin(w/2)].
Истинное значение интеграла равно (1/jw)exp(jwt). Отсюда:
K(w) = H(w)exp(jwt)/[(1/jw)exp(jwt)].
K(w) = cos(w/2)[(w/2)/sin(w/2)]. (10.3.2)
Интегрирование по формуле прямоугольников (интерполяционное среднеточечное). Оператор:
yk+1 = yk+sk+1/2. (10.3.3)
После аналогичных подстановок сигнала и преобразований получаем:
K(w) = (w/2)/sin(w/2).
При численном интегрировании по формуле Симпсона уравнение фильтра имеет вид:
yk+1 = yk-1+(sk+1+4sk+sk-1)/3. (10.3.4)
Частотный анализ фильтра проведите самостоятельно. Контроль:
Рис. 10.3.1. Коэффициенты соответствия. |
K(w) = (2+cos w)/[3 sin(w)/w].
Графики функций К(ω) приведены на рисунке 10.3.1. При интегрировании происходит накопление результатов по всему предыдущему циклу суммирования и в этих условиях значение коэффициента K(w) является более представительным и информационным, чем передаточная функция оператора для одной текущей точки.
|
|
Наиболее простые формулы цифро- вого интегрирования, трапеций и прямоугольников, ведут себя различным образом в главном частотном диапазоне. Формула прямоугольников завышает результаты на высоких частотах, а формула трапеций - занижает. Эти особенности легко объяснимы. Для одиночной гармоники площадь трапеции по двум последовательным отсчетам всегда меньше, чем площадь с выпуклой дугой гармоники между этими отсчетами, и разница тем больше, чем больше частота. В пределе, для гармоники с частотой Найквиста, отсчеты соответствуют знакочередующемуся ряду (типа 1, -1, 1, -1,... или любые другие значения в зависимости от амплитуды и начального фазового угла) и при нулевых начальных условиях суммирование двух последовательных отсчетов в формуле (10.3.1) будет давать 0 и накопления результатов не происходит. Интегрирование по площади прямоугольников с отчетом высоты по центральной точке между двумя отсчетами всегда ведет к завышению площади прямоугольника относительно площади, ограниченной выпуклой дугой гармоники.
Формула Симпсона отличается от формул трапеций и прямоугольников более высокой степенью касания единичного значения, что обеспечивает более высокую точность интегрирования в первой половине главного диапазона. Однако на высоких частотах погрешность начинает резко нарастать вплоть до выхода на бесконечность на конце диапазона (полюс в знаменателе передаточной функции рекурсивного фильтра на частоте Найквиста).
|
|
Эти особенности интегрирования следует учитывать при обработке данных сложного спектрального состава.
1.10.4 Расчёт фильтров по частотной характеристике
В качестве примера проведем расчет простого симметричного сглаживающего НЦФ исходя непосредственно из требуемой формы частотной характеристики. Расчет выполним для фильтра с окном в пять точек:
yk = ask-2+bsk-1+csk+bsk+1+ask+2. (10.4.1)
Полагаем sk = exp(jwk), при этом yk = H(w)exp(jwk). Подставляем значения входного и выходного сигнала в уравнение фильтра, сокращаем левую и правую части на общий член exp(jwk) и, объединяя комплексно сопряженные члены в правой части, получаем уравнение передаточной функции:
H(w) = 2a cos(2w)+2b cos(w)+ c.
Сокращаем количество параметров функции заданием граничных условий по частоте. Как правило, имеет смысл принять: H(0) = 1, H(p) = 0. Отсюда:
H(0) = 2a+2b+c = 1,
H(p) = 2a-2b+c = 0.
B = 1/4, c = 1/2-2a.
При этом функция H(w) превращается в однопараметровую:
H(w) = 2a(cos(2w)-1)+(cos(w)+1)/2.
По полученному выражению рекомендуется построить семейство кривых в параметрической зависимости от значений 'а' и выбрать фильтр, удовлетворяющий заданию. Пример семейства частотных характеристик приведен на рисунке 10.4.1.
Рис. 10.4.1. Частотные характеристики НЦФ.
Можно наложить еще одно дополнительное условие и определить все коэффициенты фильтра непосредственно. Так, например, если к двум граничным условиям задать третье условие сбалансированности: H(w=p/2) = 0.5, то из трех полученных уравнений сразу же получим все три коэффициента фильтра: a = 0, b = 1/4, c = 1/2 (фильтр сокращается до трех точек).
В принципе, таким методом можно задать любую произвольную форму частотной характеристики симметричного НЦФ с произвольным количеством N точек дискретизации, что определит полное уравнение (10.4.1) с окном 2N+1 точка и соответствующую передаточную функцию фильтра, по которой можно составить и решить N+1 уравнение для определения коэффициентов фильтра.