Фильтры Баттерворта

Значительная часть теории расчета цифровых БИХ-фильтров (т.е. фильтров с бесконечной импульсной характеристикой) требует понимания методов расчета фильтров непрерывного вре­мени. Поэтому в данном разделе будут приведены расчетные фор­мулы для нескольких стандартных типов аналоговых фильтров, включая фильтры Баттерворта, Бесселя и Чебышева типа I и II. Под­робный анализ достоинств и недостатков способов аппроксимации заданных характеристик, соответствующих этим фильтрам, мож­но найти в ряде работ, посвященных методам расчета аналоговых фильтров, поэтому ниже будут лишь кратко перечислены основные свойства фильтров каждого типа и приведены расчетные соотно­шения, необходимые для получения коэффициентов аналоговых фильтров.

Пусть нужно рассчитать нормированный фильтр нижних частот с частотой среза, равной Ω = 1 рад/с. В качестве аппроксими­руемой функции будет, как правило, использоваться квадрат амплитудной характеристики (исключением является фильтр Бессе­ля). Будем считать, что передаточная функция аналогового фильтра является рациональной функцией переменной S следующего вида:

(14.1)

Фильтры Баттерворта нижних частот характеризуются тем, что имеют максимально гладкую амплитудную характеристику в начале координат в s-плоскости. Это означает, что все суще­ствующие производные от амплитудной характеристики в начало координат равны нулю. Квадрат амплитудной характеристики нормированного (т. е. имеющего частоту среза 1 рад/с) фильтра Баттерворта равен:

(14.2)

где n — порядок фильтра. Аналитически продолжая функцию (14.2) на всю S-плоскость, получим

(14.3)

Все полюсы (14.3) находятся на единичной окружности на одинако­вом расстоянии друг от друга в S-плоскости. Выразим передаточ­ную функцию Н (s) через полюсы, располагающиеся в левой полу­плоскости S:

, где (14.4)

, где k =1,2…..n (14.5)

а k₀ — константа нормирования. Используя формулы (14.2) и (14.5), можно сформулировать несколько свойств фильтров Баттерворта нижних частот.

Свойства фильтров Баттерворта нижних частот:

1. Фильтры Баттерворта имеют только полюсы (все нули пере­даточных функций этих фильтров расположены на бесконечности).

2. На частоте Ω=1 рад/с коэффициент передачи фильтров Баттерворта равен (т. е. на частоте среза их амплитудная характеристика спадает на 3 дБ).

3. Порядок фильтра n полностью определяет весь фильтр. На практике порядок фильтра Баттерворта обычно рассчиты­вают из условия обеспечения определенного ослабления па неко­торой заданной частоте Ω_t > 1. Порядок фильтра, обеспечиваю­щий на частоте Ω= Ω_t< уровень амплитудной характеристики, равный 1/А, можно найти из соотношения

(14.6)

Рис. 14.1. Расположение полюсов аналогового фильтра Баттерворта нижних частот.

Рис. 14.2- Амплитудная и фазовая характеристики, а также характерис- тика групповой задержки аналогового фильтра Баттерворта нижних частот.

Пусть, например, требуется на частоте Ω_t = 2 рад/с обеспечить ослабление, равное А = 100. Тогда

Округлив n в большую сторону до целого числа, найдем, что заданное ослабление обеспечит фильтр Баттерворта 7-го порядка.

Пример 1. Рассчитать фильтр Баттерворта с ослаблением не менее 66 дБ на частоте Ω = 2000 π рад/с и с ослаблением 3 дБ на частоте Ω = 1000 π рад/с.

Решение. Используя в качестве расчетных характеристик 1/A == 0,0005 (что соответствует ослаблению на 66 дБ) и Ω_t= 2, получим n == 10,97. Округление дает n = 11. На рис. 14.1 показано расположение полюсов рассчитанного фильтра Баттер­ворта в s-плоскости. Амплитудная (в логарифмическом масштабе) и фазовая характеристики, а также характеристика групповой задержки этого фильтра представлены на рис. 14.2.