Метод присоединенной матрицы

Определение обратной матрицы

ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 3

Обратная матрица Метод присоединенной матрицы. Матричные уравнения. Матричный способ решения систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров. Метод элементарных преобразований. Теорема о базисном миноре.

Матрица А^–1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если выполняется равенство

AA ^–1 = A ^–1 A = E. (3.1)

Из данного определения следует, что взаимообратные матрицы перестановочны. Это означает, что только квадратные матрицы могут иметь обратные. Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля: det A ¹0.

% Действительно, из определения обратной матрицы и свойств определителей получаем: det(A ^–1 A)=det A ^–1det A =det E =1, откуда следует необходимое условие существования обратной матрицы: det A ¹0 или det A ^–1¹0. Вопрос о доказательстве достаточности этого условия несколько сложнее. Для этого нужно указать алгоритм построения такой матрицы. Поэтому мы вернемся к этому вопросу позднее (см. метод присоединенной матрицы).

Отметим, что если обратная матрица существует, то такая матрица только одна. Действительно, пусть существует еще одна матрица В, удовлетворяющая условию АВ=ВА=Е, тогда можно написать:

BAA ^–1=(BA) A ^–1= EA ^–1= A ^–1,

BAA ^–1= B (AA ^–1)= BE = B,

откуда получаем В=А ^–1, т.е. обратные матрицы совпадают. &

Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, или неособенной; в противном случае она называется вырожденной, или особенной. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы можно сформулировать следующим образом: обратная матрица существует, причем только одна, тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Для невырожденных матриц справедливы следующие свойства:

1) det A ^–1=(det A)^–1,	2) (AB)^–1= B ^–1 A ^–1,	3) (A ^T)^–1=(A ^–1)^T,
4) (A ^–1)^–1= A,	5) (Aⁿ)^–1=(A ^–1) ⁿ.

Матрица A ^Úназывается присоединенной к матрице A, если она является транспонированной к матрице A, а вместо элементоввзяты их алгебраические дополнения, т.е.

Теорема 3.1. Обратная и присоединенная матрицы связаны соотношением

(3.2)

% Действительно, рассмотрим произведение матриц

При этом учтем, что сумма произведений элементов некоторой строки или столбца на их алгебраические дополнения равно определителю матрицы (см. теорему о разложении определителя по строке или столбцу).Дополнительно мы воспользуемся еще одним свойством определителей: сумма произведений алгебраических дополнений некоторой строки или столбца на соответствующие элементы другой строки или столбца равно нулю. Это связано с тем, что такая сумма эквивалентна определителю, у которого две одинаковые строки или столбца, и, следовательно, он будет равен нулю. Таким образом, перемножая рассматриваемые матрицы, получим

Отсюда следует справедливость приведенной теоремы. Более того, фактически мы указали алгоритм построения обратной матрицы при помощи присоединенной матрицы и тем самым доказали достаточное условие существования обратной матрицы. &

Общая схема нахождения обратной матрицы
(метод присоединенной матрицы):

1) Вычисляем определитель заданной матрицы, если он равен нулю, то обратной матрицы не существует.

2) Транспонируем заданную матрицу.

3) Вычисляем все алгебраические дополнения транспонированной матрицы.

4) Составляем присоединенную матрицу, т.е. вместо элементов транспонированной матрицы ставим их алгебраические дополнения.

5) Записываем обратную матрицу. Для этого каждый элемент присоединенной матрицы делим на определитель исходной матрицы.

6) Делаем проверку.

Пример 3.1. Найти A ^–1, если