Определение ранга матрицы

РАНГ МАТРИЦЫ

Минором M_k k-го порядка матрицы А называется определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и k столбцов матрицы А. (Замечание: не путать рассматриваемые миноры, определяемые для матриц, с дополнительными минорами, определяемые для определителей.). В частности, минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы А.

В матрице А минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры большего порядка равны нулю или вообще не существуют.

Отметим, что в матрице может быть несколько базисных миноров.

Рангом матрицы А называется порядок базисного минора, другими словами, рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Обозначать ранг матрицы А будем символом Rg A. Матрицам с нулевым рангом соответствуют нулевые матрицы.

Пример 4.1. Найти ранг матрицы

Решение. Рассмотрим все миноры 2-го порядка:

т.е. все они равны нулю. Поскольку есть миноры 1-го порядка, не равные нулю, то Rg A =1. à

Упражнение. Определите ранги и все базисные миноры следующих матриц:

Для матриц малого порядка можно перебрать все возможные миноры, но чем больше размеры матрицы, тем труднее это сделать. Поэтому нужен какой-то алгоритм, позволяющий упорядочить нахождение ранга.