Закон массопроводности

Массопроводностью называется процесс перемещения вещества в твёрдой фазе.

Большинство строительных материалов представляет собой капиллярно-пористые тела, массообмен которых с окружающей средой определяется не только массоотдачей (в основном влагоотдачей) с поверхности материала в окружающую среду, но и подводом влаги из внутренних слоёв материала (массопроводностью) к поверхности раздела фаз.

Основной закон массопроводности (переноса вещества в твёрдом теле): количество вещества, переместившегося в твёрдой фазе за счёт массопроводности, пропорционально градиенту концентрации, площади, перпендикулярной направлению потока вещества, и времени:

(6.27)

В уравнении (6.27) коэффициент пропорциональности K, имеющий размерность коэффициента диффузии, может быть назван коэффициентом массопроводности.

При принятом законе массопроводности процесс перемещения вещества внутри твёрдой фазы может быть описан дифференциальным уравнением массопроводности

. (6.28)

Обратимся теперь снова к основному закону массоотдачи (уравнению (6.24)):

.

Здесь коэффициент массоотдачи β, в отличие от коэффициента диффузии D, является не физической, а кинематической характеристикой, зависящей как от физических свойств фазы, так и от гидродинамических условий в ней.

Для того чтобы определить коэффициент β, необходимо проинтегрировать уравнения конвективной диффузии совместно с уравнениями Навье-Стокса (дифференциальными уравнениями движения для вязкой капельной жидкости) и уравнениями неразрывности потока при определённых начальных и граничных условиях.

Однако система указанных уравнений не имеет общего решения, поэтому для нахождения связи между переменными, определяющими β, прибегают к теории подобия.

При установившемся режиме количество вещества, перемещающееся от поверхности раздела фаз в ядро потока, согласно уравнению (6.24), составит:

и будет равно количеству вещества, прошедшего через пограничный слой (границу раздела фаз) за счёт молекулярной диффузии, согласно уравнению (6.20):

,

следовательно , (6.29)

где Δ с = с_г - c_f.

Разделив левую часть уравнения (6.29) на правую, отбросив знаки математических операторов (вычеркнув символы дифференцирования), заменив x на l и проведя сокращение c, получим диффузионный критерий Нуссельта, выражающий отношение интенсивности переноса в ядре фазы к интенсивности переноса в диффузионном пограничном слое

. (6.30)

При одномерной диффузии (например, в направлении x) в неустановившемся процессе уравнение 2-го закона Фика имеет вид

, (6.31)

где – выражает изменение концентрации во времени; – распределение концентрации за счёт конвективного переноса; – распределение концентрации за счёт молекулярной диффузии.

Разделив третий член уравнения на первый, и применив указанные выше приёмы, получим диффузионный критерий Фурье, характеризующий постоянство отношения изменения концентрации за счёт молекулярного переноса к изменению концентрации во времени:

. (6.32)

Отношение 2-го члена к 3-му даст диффузионный критерий Пекле, выражающий меру отношения массы вещества, переносимой за счёт конвективного и диффузионного переноса:

. (6.33)

Обычно критерий преобразовывают, выражая его критерием Re и диффузионного критерия Прандтля:

.

Диффузионный критерий Прандтля характеризует подобие физических величин

.

Когда процесс массообмена происходит в условиях естественной конвекции, то вместо критерия Рейнольдса (Re) в критериальное уравнение вводят другой критерий гидродинамического подобия – критерий Грасгофа (Gr):

,

где β – температурный коэффициент объёмного расширения среды (коэффициент объёмного расширения жидкости);

Δ t = t_ж - t_c.

В общем виде критериальное уравнение (конвективного массопереноса) массоотдачи имеет вид

. (6.34)

Поскольку определяемым критерием является критерий Нуссельта, выражение (6.34) можно записать в виде

. (6.35)

При стационарном режиме массообмена из уравнения (6.35) исключаем критерий и оно приобретает вид

. (6.36)

При вынужденном движении фазы, когда естественной конвекцией можно пренебречь, из уравнения (6.36) исключают критерий Грасгофа (),тогда

или . (6.37)

При естественной конвекции из уравнения (6.36) исключают критерий Рейнольдса (R_eд), тогда

или .

Зная значение N_ид, определяем коэффициент массоотдачи

.

Возвратимся теперь к уравненниям массопроводности (6.27) и (6.28):

, (6.27)

. (6.28)

Для решения задачи о перемещении вещества внутри твердой фаза дифференциальное уравнение массопроводности (6.28) должно быть дополнено уравнением, характеризующим условия на границе раздела твёрдой и жидкой (газовой, паровой) фаз.

Это уравнение может быть выведено в результате следующих рассуждений. К элементарной площадке dF на границе раздела фаз подводится вещество из твёрдой фазы в количестве dG, которое можно определить, исходя из закона массопроводности (внутренний массоперенос) (6.27).

От элементарной площадки отводится в омывающую фазу то же количество вещества dG, которое можно определить, исходя из закона конвекционной диффузии (внешний массоперенос) (закона массоотдачи (6.24)).

В результате получаем балансовое уравнение массопереноса в системе твёрдое тело-жидкость (газ) в дифференциальной форме:

. (6.29)

Из уравнений (6.28) и (6.29) могут быть получены критерии, характеризующие перемещение влаги внутри твёрдой фазы.

Разделив в (6.29) правую часть на левую, получим безразмерный комплекс

.

Вычеркнув в этом комплексе символы дифференцирования, разности направления, после сокращения получим диффузионный критерий Био

.

Из дифференциального уравнения массопроводности (6.28) получаем безразмерный комплекс делением правой части на левую

.

Вычеркнув в полученном комплексе символы дифференцирования и направления, после сокращений получаем диффузионный критерий Фурье

,

характеризующий изменение скорости потока вещества, перемещаемого массопроводностью в твёрдом теле.

Дифференциальное уравнение массопроводности для простейших случаев одномерного перемещения вещества имеет аналитическое решение в виде

, (6.30)

где – параметрический критерий, представляющий собой безразмерную концентрацию распределяемого вещества в твёрдой фазе (среде) в точке с координатой х; с – концентрация в точке с координатой х в момент τ, соответствующий определённому диффузионному критерию Фурье; δ – определяющий размер тела, составляющего твёрдую фазу; x/δ – безразмерная координата точки, в которой концентрация равна с; c_н – концентрация распределённого вещества в начальный момент времени; c_P – равновесная концентрация распределённого вещества в твёрдой фазе (и жидкости) при τ → ∞.

В промышленности строительных материалов основным массообменным процессом, протекающим между твёрдой фазой (материалом) и газообразной средой (теплоносителем), является сушка.