Основные законы массопередачи

В процессах переноса вещества из одной фазы в другую различают два случая:

1) перенос между потоками жидкости;

2) перенос из твердого тела в поток жидкости (или в обратном направлении).

Законами, которым подчиняется перенос распределяемого вещества из одной фазы в другую, являются законы: молекулярной диффузии (первый закон Фика), массоотдачи и массопроводности.

Формулировка первого закона Фика аналогична закону теплопроводности: количество продиффундировавшего вещества пропорционально градиенту концентраций, площади, перпендикулярной направлению потока, и времени:

(6.1)

или (6.2)

Тогда по аналогии с теплопроводностью удельный поток вещества, переносимого молекулярной диффузией через единицу поверхности в единицу времени:

(6.3)

Коэффициент пропорциональности D называется коэффициентом диффузии; он представляет собой физическую константу, характеризующую способность данного вещества проникать вследствие диффузии в неподвижную среду. Величина D не зависит от гидродинамических условий протекания процесса и является функцией свойств распределяемого и распределяющего вещества, температуры и давления.

Опыт показывает, что коэффициент диффузии зависит, прежде всего, от агрегатного состояния вещества – для газов, например, он на четыре порядка выше, чем для жидкостей. D увеличивается с увеличением температуры и уменьшается с повышением давления.

Перенос вещества внутри фазы может происходить либо путём молекулярной диффузии, подчиняющейся первому закона Фика, либо путём конвекции и молекулярной диффузии одновременно. Строго говоря, молекулярной диффузией вещество перемещается только в неподвижной среде. Если среда движется, то перенос вещества осуществляется как молекулярной диффузией, так и самой средой в направлении её движения или отдельными частицами этой среды, двигающимися в различных направлениях.

Выделим в установившемся потоке элементарный параллелепипед (рис. 6.4) с рёбрами dx, dy, dz. Не останавливаясь подробно на рассуждениях (они аналогичны выводу дифференциальных уравнений движения Навье-Стокса), можно сказать, что за время dt вследствие перемещения вещества только за счёт конвективного переноса содержание распределяемого вещества в объёме параллелепипеда изменится на величину.

(6.4)

Рисунок 6.4 – К выводу второго закона Фика

За счёт только молекулярной диффузии количество распределяемого вещества в объёме параллелепипеда за время dt изменится на величину

(6.5)

Поскольку рассматривается установившийся процесс, изменение концентрации распределяемого вещества не зависит от времени, а является функцией координат точки. Тогда изменение концентрации распределяемого вещества за счёт конвективного переноса должно компенсироваться таким же по величине изменением концентрации (но с обратным знаком) за счёт молекулярной диффузии, т.е. должно соблюдаться условие

(6.6)

Из (6.4) и (6.5) получим

(6.7)

или (6.8)

Формулы (6.7) и (6.8) представляют собой дифференциальные уравнения конвективного массообмена при установившемся процессе.

Для неустановившегося процесса массообмена (но в условиях стационарного потока фазы) левая часть должна быть дополнена изменением концентрации распределенного вещества по времени

(6.9)

При массообмене в неподвижной среде и конвективная составляющая левой части уравнения обратится в 0 и уравнение примет вид

(6.10)

Выражение (6.10) является дифференциальным уравнением конвективного массообмена при неустановившемся процессе (второй закон Фика).

Основной закон массоотдачи: количество вещества, перенесённого от поверхности раздела фаз в воспринимающую среду, пропорционально разности концентраций у поверхности раздела фаз и в ядре потока воспринимающей фазы, поверхности фазового контакта и времени:

, (6.11)

где dm – количество перенесенного вещества; β – коэффициент массоотдачи, характеризующий перенос вещества конвективными и диффузионными потоками одновременно, – концентрация вещества в воспринимающей фазе у поверхности раздела, – то же, в ядре потока воспринимающей фазы, dA – поверхность раздела, dt – время переноса.

Для установившегося процесса

, (6.12)

а при постоянстве A

. (6.13)

Коэффициент массоотдачи в отличие от коэффициента диффузии является не физической, а кинетической характеристикой, зависящей как от физических свойств фазы, так и от гидродинамических условий в ней. Для того чтобы определить коэффициент массоотдачи, необходимо проинтегрировать уравнения конвективной диффузии совместно с уравнениями Навье-Стокса и уравнением неразрывности потока при определённых начальных и граничных условиях. Однако система указанных уравнений не имеет общего решения, поэтому для нахождения связи между переменными прибегают к теории подобия.

Количество вещества, перемещающегося из фазы в фазу у границы раздела, определяется законом конвективной диффузии: . В то же время у границы раздела фаз вещество переходит из фазы в фазу за счёт молекулярной диффузии, описываемой уравнением , тогда

, (6.14)

где

Разделив левую часть уравнения (6.14) на правую, отбросив знаки математических операторов, заменив x на l и сократив c, получим критерий Нуссельта, выражающий отношение интенсивности переноса в ядре фазы к интенсивности переноса в диффузионном пограничном подслое

(6.15)

При одномерной диффузии в неустановившемся процессе уравнение второго закона Фика имеет вид

где – выражает изменение концентрации во времени, – распределение концентрации за счёт конвективного переноса, – то же, за счёт молекулярной диффузии.

Тогда отбросив знаки математических операторов, заменив x на l и разделив третий член на первый, получим диффузионный критерий Фурье, характеризующий постоянство отношения изменения концентрации во времени к изменению концентрации за счёт молекулярного переноса:

(6.16)

Отношение второго члена к третьему даст диффузионный критерий Пекле, выражающий меру отношения массы вещества, переносимой за счёт конвективного и диффузионного переноса:

. (6.17)