Принцип максимума Понтрягина

Задачи на условный экстремум функционала с дополнительными ограничениями на переменной

Глава III

Принцип максимума, разработанный группой советских математиков под руководством академика Л.С. Понтрягина, является расширением классического вариационного исчисления на случай, когда на переменную наложены дополнительные ограничения, вследствие чего управляющие воздействия могут иметь на отрезке разрывы первого рода в конечном числе точек, т.е. описываются кусочно-непрерывными функциями.

Итак, вспомним постановку 6 типовой задачи управления. Дан функционал

где

вектор коор. сост.

вектор управления

Известны граничные условия

Управление связи, является матиматическим описанием объекта управления

и допустимые ограничения на переменной

Требуется найти такой вектор управления , подгоняющийся (4) и (3), которому бы соответствовала экстремаль , проходящая через граничные точки (2) и доставляющая экстремум функционалу.

Для того, чтобы геометрически интерпретировать задачу на условный функционалу, введем новую переменную следующим образом

Следовательно

а при

Присоединив к - мерному вектору состояния , получим расширенную мерную систему координат состояния Присоединив же (5) к (3), получим расширенную систему управлений связи

Итак, простая черта над переменной в дальнейшем будет служить признаком - мерного пространства, волнистая черта – признаком (n+1) мерного пространства. Отметим так же, не зависит от вновь введенной переменной .

Предположим, что вектор содержит две переменныеи , тогда вектор будет соответствовать точка в трехмерном пространстве рис.1

Обозначим через П прямую в пространстве , проходящую через точку , параллельную оси . Кривая , лежащая в плоскости - допустимое решение задачи на условный экстремум функционала. Она является проекцией на плоскости , кривой , координата которая в любой момент времени определяется (6).

Основную задачу оптимального управления можно сформулировать следующим образом.

В (n+1) мерном пространстве заданы начальная точка и прямая П, параллельная оси и проходящая через точку ; среди всех допустимых уравнений обладающих тем свойством, что соответствующее решение системы (7) с начальным условием проходит при через точку прямой П, выбрать такое управление, для которого координата точки имела бы минимум значения.

Напомним, что это была геометрическая постановка задачи на условный функционала.

Перейдем к формулировке теоремы дающей необходимое условие . Введем в рассмотрение вспомогательные переменные , удовлетворяющие системе уравнений

Система уравнений (8) называется сопряженной по отношению к системе (7). Системы уравнений (7) и (8) можно объединить одной формой записи. Для этого введем в рассмотрение функцию переменных , называемую «Гамильтонианом»