2014-02-13
505
Пусть 
такое допустимое управление, что соответствующая ему траектория 
рис.1, исходящая при 
из точки 
, проходит в момент времени 
через некоторую точку прямой П. Для оптимальности управления и траектории необходимо существование такой не нулевой непрерывной вектор функции 
, соответствующей функциям 
и , что
1. При любом 
гамильтониан 
достигает максимума по т.е.
2. В конечный момент имеет место соотношение
Замечание 1. Доказано, что на интервале 
и 
являются константами, поэтому если условия 
выполняется для 
, то они выполняются для любых .
Замечание 2. В большинстве случаев 
(см. рис. (*))
Замечание 3. Теорема получила название принципа максимума в связи с тем, что оптимальное управление 
, доставляющие максимум гамильтониану 
.
Следовательно, данная теорема говорит только о необходимости существования функции 
и выполнения условия максимума. вдоль оптимальной траектории, ноне дает конкретных рекомендаций по выбору оптимального управления.
* ищется как управление,
Пример. (глава II)
Введем вектор
для 
для 
т.к. 
т.е. для задач автоматического управления.
исходя их 
Находим 
т.е. 
Перепишем варьирование 
Получили 3 уравнения с 3-мя неизвестными
Из главы (2) 
Вектор 
характеризует положение гиперплоскости, т.е. играет так же роль, что и 
. Следовательно, решение то же самое.
Будем приближенно находить оптимальное управление и оптимальную траекторию.
Начальное 
. Найдем значение оптимального управления.
Зададимся 
произвольно, 
Тогда 
Вычислим
, а должно быть =0
Возьмем 
Возьмем 
Если точность устраивает, то итерацию можем закончить.
Введем шаг дискретности по времени 
∆
Каждый раз начало отчета берем в новой точке 
из уравнения
откуда 
Тогда координата 
в 
будет 
и т.д. см. рис. 1
Пример.
На управление наложено ограничение 
Возможно 2 случая
1) 
2) 
То решение происходит предыдущим способом без ограничений.
при оптимальном управлении
согласно ограниченным условиям определим значение управляющего сигнала при 
.
Замечено, что в начальный момент времени управление берется максимальным.
и далее, как в предыдущем примере см. рис. 2
