Свойство функционала

Рис.5

Для функций, являющихся аргументами функционала, введем определения.

Множество всех функций, обладающих определенными свойствами, называются функциональным пространством. Мы будем использовать следующие функциональные пространства.

- представляет множество непрерывных функций ч определенных на отрезке ;

- состоит из непрерывных функций определенных на отрезке и имеющих на этом отрезке непрерывную 1-ую производную;

– состоит из функций, непрерывных на отрезке и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до порядка «n» включительно.

Каждое из пространств специальным образом нормируется т.е. каждой функции , входящей в пространство, ставится в соответствующие некоторое неотрицательное число , называемое нормой.

В каждом пространстве норма определяется по своим правилам:

для

Введенные нормы функции обладают следующими свойствами:

1) , причем только для

2) , где - некоторое число

3) - неравенство треугольника

С помощью норм можно определить «расстояние» между функциями внутри функционального пространства:

Функционал называется непрерывным в «точке» (т.е. для функции) , если для любого сколько угодно малого числа можно указать такое число , что при будет справедливо .

Норма - максимальное «различие» между и . Геометрический смысл непрерывности- при малых изменениях функции изменения площади должны быть тоже малы (т.е. площадь не должна изменяться скачком). Функционал называется непрерывным в области если он непрерывен в каждой «точке» (а точка представляет собой функцию) этой области.

Функционал называется линейным, если выполняются следующие два условия:

а) аддитивности, т.е. для любых функций и из области определения функционала справедливо

б) однородности, т.е. для любого числа справедливо

Примеры.

1. Функционал где

- произвольная непрерывная функция, является непрерывным и линейным в пространстве , т.е. в пространстве непрерывных функций , заданных на отрезке . Легко видеть, что свойства линейности функционала аддитивности и однородность – выполняются для рассматриваемого случая.

2. Функционал где и - непрерывные на отрезке функции, являются линейными в пространстве , т.е. в пространстве непрерывных дифференцируемых функций , заданных на отрезке.

3. Функционал -будет непрерывным нелинейным функционалом в пространстве

Рассмотрим билинейные и квадратичные формулы. Функционалом 2-х переменных называются билинейными, если он являются линейным от при фиксированном и линейной при фиксированном .

Таким образом, для билинейного функционала имеют место равенства, отражающие свойства аддитивности и однородности:

где и - произвольные числа. Билинейный функционал, в котором , называется квадратичным.

Пример.

4. где функции - принадлежат пространству . Для функционала выполняются свойства аддитивности и однородности

Аналогично можно доказать, что т.е. рассматриваемый функционал билинейный, а соответствующий ему

- квадратичный.

Свойство функционалов характеризуется следующими леммами, которые мы рассмотрим без доказательства.

Лемма 1 (лемма Лагранжа).

Пусть -некоторая непрерывная на отрезке функция. Если линейный функционал

для любой такой, что то .

Лемма 2

Если квадратичный функционал

для любой функции , имеющей кусочно-непрерывную производную и удовлетворяющей условию , то функция для любого . Здесь - непрерывные функции на отрезке .

Введем понятия дифференцируемости и дифференциала функционала.

Функционал , определенный в линейном нормированном пространстве , называется дифференцируемым в «точке» (т.е. функции) , если существует такой линейный относительно приращений функционал , что для любого допустимого приращения

функции приращение функционала имеет вид

причем

Линейный относительно приращения функционала называется дифференциалом функционала или его 1-ой вариацией и обозначается

. Итак, еще раз.

Аргументу функционала дается приращение . Приращение функционала разлагается в ряд Тейлора. Линейна часть разложения , называется дифференциалом или 1-ой вариацией функционала.

Функционал является дифференцируемым в некоторой области функционального пространства , если он дифференцируем в каждой точки этой области. Отметим, что в функциональном анализе линейный функционал носит название сильного дифференциала (дифференциала Фреше) в отличие от слабого дифференциала (дифференциала Гато).

Функционал называется дважды дифференцируемым в точке , если для любого допустимого приращения аргумента приращение функционала можно представить в виде

где - линейный функционал относительно приращений - квадратичный функционал относительно приращения , кроме того

Квадратичный функционал называется вторым дифференциалом функционала в точке или второй вариацией и обозначается

Функционал будет дважды дифференцируемым в области , если он дважды дифференцируем в каждой точке этой области. Первая и вторая вариации функционала, если они существуют, определяются единственным образом.

Свойство функции

Свойство функционала