УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2-ГО РОДА
Пусть система состоит из N точек, тогда ее положение в пространстве определяется в каждый момент времени 3 N координатами точек системы, например, декартовыми хk, уk,, zk. Пусть на систему наложено п голономных связей. На 3 N координат наложено п уравнений связи, тогда независимых координат будет К = 3N-n.
Любые К координат можно задать независимо, остальные определятся из уравнений связей. Введем К обобщенных координат q1, q2, …,qK каждая из которых зависит от декартовых координат. В общем случае они могут зависеть от всех декартовых координат точек системы, т.е.
qi=qi(xk, yk, zk)
здесь i = 1,2,..., К; k = 1,2,... ,N
Можно выразить декартовые координаты через обобщенные, при условии разрешимости системы, т.е. получить
xk=xk(q1, q2, …,qK), yk=yk(q1, q2, …,qK), zk=zk(q1, q2, …,qK),
Элементарная работа внешних сил, приложенных к точкам системы, на возможных перемещениях точек этой системы определяется следующим выражением
.
Пусть голономная система имеет К степеней свободы и, следовательно, ее положение можно определять обобщенными координатами: q1, q2, …,qK.
|
|
Тогда, имея в виду, что и получаем, что .
Тогда
Подставляя в выражение для элементарной работы, можно записать
где скалярная величина
называется обобщенной силой, отнесенной к обобщенной координате qi.
Для вычисления обобщенной силы Qi необходимо дать системе возможное перемещение δqi и вычислить возможную работу всех сил на этом перемещении, тогда сомножитель перед δqi и будет представлять обобщенную силу Qi.
Обобщенную силу можно переписать
Приступим к выводу дифференциальных уравнений движения голономной системы в обобщенных координатах: q1, q2, …,qK.. Будем исходить из общего уравнения динамики
,
.
Первое слагаемое запишем через обобщенную силу:
,.
Запишем второе слагаемое через обобщенные координаты. Имеем
Распишем Zi.
,
в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием.
Докажем, что выполняется следующее соотношение:
.
Действительно, ,тогда
.
Так как множители (i = 1,2,..., К) зависят только от обобщенных координат (и не зависят от обобщенных скоростей), то, дифференцируя равенство скорость по обобщенным скоростям, получаем, что
,
следовательно, равенство доказано.
Далее, имеем
Возвращаясь к формуле для Zi и подставляя в нее полученные тождества, имеем
.
Здесь Vk - скорость k-ой точки;
- кинетическая энергии механической системы.
Итак, получили, что
.
Тогда общее уравнение динамики в обобщенных координатах имеет вид:
Так как qi - независимые координаты, томожет иметь место только тогда, когда все коэффициенты при δqi, в этом уравнении равны нулю. Поэтому общее уравнение динамикиэквивалентно системе уравнений Zi=Qi (i = 1,2,...,К), которые могут быть записаны в следующем виде:
|
|
, (i=1, 2, …, K)
Эти уравнения носят название уравнений Лагранжа второго рода.
Величина - называется обобщенной скоростью; - обобщенным ускорением.
Уравнения Лагранжа второго рода образуют систему из К обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с К неизвестными. Напомним, что К - число степеней свободы рассматриваемой механической системы.
Итак, число уравнений Лагранжа второго рода равно числу степеней свободы системы.
Уравнения Лагранжа дают единый и достаточно простой метод решения задач динамики и для простых и для сложных механических систем.
При составлении уравнений Лагранжа для заданной механической системы рекомендуется следующая последовательность действий:
- установить число степеней свободы системы и выбрать обобщенные координаты;
- изобразить систему в произвольном положении (обобщенные координаты должны быть положительными) и показать на рисунке все действующие на систему внешние силы;
- вычислить кинетическую энергию системы в ее произвольном движении и выразить ее через обобщенные координаты qi, и обобщенные скорости ;
- выполнить предусмотренные уравнениями Лагранжа операции дифференцирования кинетической энергии системы;
- вычислить обобщенные силы, последовательно задавая элементарные положительные перемещения только соответствующей обобщенной координате;
- подставить все полученные выражения в уравнениях Лагранжа и решить полученную линейную систему К уравнений относительно К неизвестных обобщенных ускорений:
Пример 1. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси z под действием вращающего момента Мвр. Составить дифференциальное уравнение вращения твердого тела.
Решение. В качестве обобщенной координаты выберем угол поворота φ. Соответствующая обобщенная сила равна
.
Кинетическая энергия вращающегося тела
.
Уравнение Лагранжа
после подстановки
, ,