Общее уравнение динамики

Для того, чтобы стационарная механическая система с идеальными конечными связями находилась в положении равновесия, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении сумма элементарных работ внешних сил на любых возможных перемещениях системы равнялась нулю.

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Положением равновесия называется такое положение системы, в котором система будет находиться все время, если в начальный момент времени она находилась в этом положении, и скорости всех ее точек были равны нулю.

Положение системы будет положением равновесия в том случае, когда в этом положении системы

Это равенство выражает принцип возможных перемещений:

Принцип возможных перемещений был известен со времен Архимеда под названием «золотого правила механики» и применялся к простейшим механизмам. Рассмотрим в качестве примера рычаг Архимеда Рычаг имеет одну степень свободы - может вращаться вокруг точки О. Равновесие имеет место, когда элементарная работа при повороте рычага на элементарный угол δφ равна нулю.

Общее уравнение динамики относится к уникальному методу исследования задач динамики механических систем.

Рассмотрим голономную систему N материальных точек, подчиненную идеальным связям. Каждая точка системы движется согласно основному закону динамики

где т_k - масса k -ой точки системы, - ее ускорение, - равнодействующая внешних сил, приложенных к k -ой точке (k = 1,2,..., N).

Если ввести силу инерции , то основной закон динамики можно записать в форме равновесия сил

или

. (k = l,2,...,N)

Полученное выражение соответствует принципу Д'Аламбера: совокупность всех внешних сил, действующих на механическую систему и сил инерции образует в каждый момент времени уравновешенную систему сил.

Мысленно зафиксируем время t и сообщим каждой точке системы одно из возможных перемещений . Умножим скалярно каждое слагаемое на , затем сложим все N полученных уравнений между собой, получим