Явления переноса

21. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул газа

Молекулы газа, участвуя в хаотическом тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом и изменяют направление своего движения. Наименьшее расстояние d, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы (рис. 7). Площадь круга радиусом d называется эффективным сечением молекулы:

За время между двумя последовательными столкновениями молекула газа движется равномерно и прямолинейно, проходя при этом некоторый путь l, называемый длиной свободного пробега. Длина свободного пробега - случайная величина, подчиняющаяся вероятностному закону. Поэтому вводится средняя длина свободного пробега - среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями.

Средний путь, проходимый молекулой за единицу времени, численно равен модулю средней скорости . Если среднее число столкновений, испытываемых молекулой за единицу времени, равно , то средняя длина свободного пробега равна

. (21.1)

Подсчитаем , сделав следующие упрощающие предположения: а) молекулы - упругие шарики диаметром d; б) все молекулы неподвижны, кроме рассматриваемой, которая движется со скоростью .

Вследствие непрерывных столкновений рассматриваемая молекула движется по некоторой ломаной линии, при этом за единицу времени она столкнется со всеми молекулами, центры которых лежат внутри коленчатого цилиндра диаметром 2 d и длиной (рис. 8). Умножив объем этого цилиндра на концентрацию молекул n, найдем :

. (21.2)

Если учесть, что все молекулы движутся, то результат окажется в раз больше:

. (21.3)

Подставив полученное выражение для в (21.1), найдем :

. (21.4)

Так как , то (21.4) можно записать в виде

. (21.5)

Проанализируем полученные соотношения для случая различных изопроцессов. При изохорическом процессе . Как будет доказано позднее, эффективный диаметр молекул с повышением температуры уменьшается. Следовательно, при изохорическом нагревании средняя длина свободного пробега увеличивается.

При изотермическом процессе Т и d не изменяются, следовательно,

При изотермическом уменьшении давления средняя длина свободного пробега увеличивается.

При некотором давлении средняя длина свободного пробега может оказаться равной или даже большей линейных размеров сосуда. Область давлений, при которых длина свободного пробега равна или превышает размеры сосуда, в котором находится газ, характеризует состояние газа, называемое вакуумом.

В состоянии вакуума между молекулами газа практически отсутствуют столкновения, хотя концентрация молекул при этом может быть еще весьма большой (при ).

В состоянии вакуума некоторые свойства газа изменяются: в газе отсутствуют конвекция, внутреннее трение, изменяется характер теплопроводности и т.д.

22. Диффузия, внутреннее трение, теплопроводность

В отсутствие равновесия в газе всегда имеется пространственная неоднородность тех или иных его параметров, например, плотности, давления, температуры. Если такой газ предоставить самому себе, то хаотическое движение молекул постепенно выровняет все эти неоднородности и газ придет в состояние термодинамического равновесия.

Процессы выравнивания сопровождаются ростом энтропии и преимущественным, направленным переносом ряда физических величин - массы, энергии, импульса, электрического заряда и т.д. - и поэтому называются явлениями переноса. Говоря о явлениях переноса, будем подразумевать, что выравнивание тех или иных физических величин происходит исключительно благодаря тепловому движению молекул, но не вследствие конвекции.

К явлениям переноса в газах относятся диффузия, внутреннее трение (вязкость), теплопроводность.

Диффузия в газе - процесс перемешивания молекул, сопровождающийся переносом массы из мест с большей концентрацией данных молекул в места с меньшей концентрацией этих молекул. Различают взаимную диффузия и самодиффузию.

Взаимная диффузия - перемешивание газов, входящих в газовую смесь. Взаимная диффузия возникает при наличии неравномерного распределения молекул газов, входящих в смесь.

Самодиффузия - диффузия молекул некоторого газа в среде молекул этого же газа (например, диффузия радиоактивных (меченых) атомов некоторого вещества в среде нерадиоактивных атомов этого же вещества).

Внутреннее трение (вязкость) в газе - взаимодействие между слоями газа, движущимися с различными скоростями. Явление сопровождается переносом импульса направленного движения из более быстрых слоев в более медленные. В результате этого переноса между соприкасающимися слоями возникают силы внутреннего трения, тормозящие движение быстрого слоя и ускоряющие движение медленного.

Теплопроводность - процесс выравнивания температуры газа, сопровождающийся направленным переносом энергии из более нагретых слоев в менее нагретые.

Все явления переноса с математической точки зрения описываются одним и тем же уравнением.

Пусть некоторая скалярная физическая величина а, например, температура Т или плотность вещества r, распределена в пространстве неравномерно. Быстроту изменения этой величины по направлению характеризует вектор, называемый градиентом.

Градиент величины а - вектор, направленный в каждой точке пространства в сторону быстрейшего возрастания этой величины и численно равный приращению а на единицу длины этого направления.

Если r - направление быстрейшего возрастания величины а в данной точке, то есть проекция градиента а на направление r. Расположим перпендикулярно к r элементарную площадку (рис. 9). За время dt через эту площадку будет перенесена физическая величина dB, например, количество тепла dQ или масса dM, тем большая, чем больше , dt и градиент величины а в том месте, где находится площадка :

. (22.1)

Здесь a - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом переноса; - проекция градиента а на направление r; знак минус означает, что направление возрастания а и направление переноса величины В противоположны: перенос происходит в направлении, где а меньше.

Уравнением вида (22.1) описывается любое из явлений переноса в газах.

В процессе диффузии переносится масса, а изменяющейся величиной является плотность диффундирующего газа r. Уравнение диффузии запишется так:

(уравнение Фика), (22.2)

где D - коэффициент диффузии; - проекция на ось r градиента плотности диффундирующего газа.

Уравнение самодиффузии выражается также формулой (22.2), только под D следует понимать коэффициент самодиффузии, а под - проекцию на ось r градиента плотности меченых молекул.

В процессе внутреннего трения переносится импульс направленного движения молекул; изменяющейся величиной является скорость направленного движения u:

(уравнение Ньютона), (22.3)

где h - коэффициент внутреннего трения (коэффициент вязкости); - проекция на ось r градиента скорости направленного движения молекул.

В процессе теплопроводности переносится энергия (в форме тепла); изменяющейся величиной является температура Т:

(уравнение Фурье), (22.4)

где c - коэффициент теплопроводности; - проекция на ось r градиента температуры.

Уравнения (22.2)-(22.4) дифференциальные.

Интегральные уравнения явлений переноса в общем случае сложны. Наиболее просто они выглядят, если:

1) имеющееся неравномерное распределение физических величин, определяющих перенос, не зависит от времени, т.е.

; ;

(диффузия, вязкость, теплопроводность в этом случае называются стационарными).

2) физические величины, определяющие перенос, изменяются вдоль направления r по линейному закону, а в направлениях перпендикулярных к r эти величины не изменяются. В этих особых случаях интегральные уравнения диффузии, внутреннего трения, теплопроводности выглядят так:

, (22.5)

, (22.6)

, (22.7)

где , , - проекции на направление r градиентов r, u, Т, выраженных через конечные разности; - площадь плоскости, перпендикулярной к r; - конечный промежуток времени.

23. Физический смысл коэффициентов переноса.

Из (22.2) D численно равно

Коэффициент диффузии численно равен массе, перенесенной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к градиенту плотности диффундирующего газа, при единичном градиенте этой плотности.

Аналогично определяется смысл коэффициента самодиффузии. Из (22.3)

Коэффициент вязкости численно равен модулю импульса направленного движения молекул, перенесенному за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к градиенту скорости направленного движения, при единичном градиенте этой скорости.

Из (22.4)

Коэффициент теплопроводности численно равен количеству тепла, перенесенному за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к градиенту температуры, при единичном градиенте температуры.

Можно получить, что

. (23.1)

Таким образом, коэффициент самодиффузии идеального газа зависит от средней скорости теплового движения и средней длины свободного пробега молекул.

При взаимной диффузии коэффициент диффузии одного газа в другой выражается формулой, совпадающей с (23.1), если молекулы газов имеют одинаковые или почти одинаковые массы и эффективные сечения (например, смесь СО и ), а также когда концентрация примеси мала по сравнению с концентрацией основного газа. В остальных случаях коэффициент диффузии выражается более сложной формулой.

Коэффициенты вязкости и теплопроводности могут быть рассчитаны с помощью того же приема, что и коэффициенты самодиффузии.

Соответствующий расчет показывает, что коэффициент вязкости идеального газа равен

, (23.2)

где D - коэффициент самодиффузии; r - плотность газа.

Коэффициент теплопроводности идеального газа равен

, (23.3)

где - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Получим зависимость коэффициентов переноса l, h и c в идеальных газах от давления. Воспользуемся соотношениями молекулярно-кинетической теории идеального газа для:

средней скорости теплового движения ;