2015-01-21
608
Задача 4. Предприятие может производить 3 вида продукции 
. Для их производства используются 2 вида ресурсов А и В, запасы которых 
. Прибыль от реализации единицы продукции 
.
Технологическая матрица имеет вид:
.
Рынок показывает, что продукт 
должен производиться в объеме не менее 5 единиц.
Требуется найти оптимальный план производства 
, при котором выполняются все ограничения и прибыль 
максимальна.
Получаем задачу ЛП:
(1)
Приведем (1) к каноническому виду, вводя остаточные переменные:
(2)
Выписывает расширенную матрицу ограничений для (2):
Т.к. в матрице 
нет столбца вида 
матрице нет, поэтому в 3-ем ограничении отсутствует очевидная базисная переменная и данная задача не имеет очевидного базиса.
Первый этап. На первом этапе решается вспомогательная 
- задача, целью решения которой является нахождение начального базиса 
основной - задачи.
Вводим ряд искусственных переменных 
, количество которых равно количеству недостающих базисных переменных и рассматриваем новую целевую функцию: 
|
|
|
Математическая модель задачи:
(3),
где 
– вектор искусственных переменных.
Вводим в 3-е ограничение вводим искусственную переменную 
и решаем задачу вида:
при ограничениях:
(4)
Выписываем расширенную матрицу ограничений для (4):
Так как в матрице 
есть единичная подматрица, образованная столбцами при переменных 
, следовательно 
- очевидный начальный базис для - задачи.
Выражаем базисную переменную из ограничения и исключаем из целевой функции: 
Переносим неизвестные влево:
- w - строка начальной симплекс-таблицы.
Строим начальную симплекс-таблицу (таблица 5) w - задачи и доводим ее до оптимальной.
Таблица 5
| Б | ω | x1 | x2 | x3 | S1 | S2 | S3 | r | Реш. | bi/ai | Комм. |
| ω | -1 | -5 | - | не опт. | |||||||
| S1 | х1→Б | ||||||||||
| S2 | Б→r | ||||||||||
| r | -1 | ||||||||||
| w | - | опт. | |||||||||
| S1 | -2 | - | |||||||||
| S2 | -1 | - | |||||||||
| X1 | -1 | - |
Т.к. 
, значит, I этап завершен успешно, и искусственная переменная выведена из базиса.
Второй этап. На II этапе в качестве начального базиса основной задачи принимаем оптимальный базис вспомогательной задачи, т.е. 
.Возвращаемся к целевой функции исходной задачи, и столбцы искусственных переменных удаляем из симплекс-таблицы.
Выражаем базисную переменную 
из оптимальной симплекс- таблицы и исключаем из целевой функции :
Переносим неизвестные влево: 
– - строка начальной симплекс-таблицы основной задачи.
|
|
|
Строим начальную симплекс-таблицу основной задачи и доводим ее до оптимальной (таблица 6).
Таблица 6
| Б | Z | x1 | x2 | x3 | S1 | S2 | S3 | Реш. | bi/ai | Ком. |
| Z | -2 | -2 | -1 | - | Не опт. | |||||
| S1 | x3→Б | |||||||||
| S2 | Б→S1 | |||||||||
| x1 | -1 | - | ||||||||
| Z | - | Опт. | ||||||||
| x3 | - | |||||||||
| S2 | -1 | -2 | -3 | - | ||||||
| x1 | -1 | - |
Имеем:
– объем производства I – го продукта.
– II продукт не производится.
– III продукт не производится.
S1 = 0 – ресурс А используется полностью.
S2 = 10 – остаток ресурса В.
S3 = 0 – превышение производства продукта 1 над плановым заданием.
Замечание 4. Если 
, тогда исходная задача несовместима; переход ко 2-му этапу не осуществляется;
Экономическая интерпретация алгоритма симплекс-метода и оптимальной симплекс-таблицы
Задача 5. Предприятие может выпускать 3 различных вида продукции, цены реализации которых равны соответственно 
При производстве используются два вида ресурсов запасы, которых 
, а цены закупки единицы ресурса 
.
Технологическая матрица имеет вид:
.
Определить оптимальный план работы предприятия, дать экономический анализ для каждой итераций поиска решения с помощью симплекс-метода.
Решение.
Пусть 
искомые объемы производства продуктов 1,2,3.
Найдем по формуле (1) ценовые коэффициенты переменных 
в функции прибыли.
Имеем:
таким образом, производство продуктов 1,2 рентабельно, производство продукта 3 нерентабельно.
Задача ЛП о нахождении оптимального плана имеет вид:
Приведем задачу (10) к каноническому виду:
Начальный базис задачи: 
.
Z – строка начальной симплекс-таблицы 7:
.
Таблица 7
| Б | Z | x1 | x2 | x3 | S1 | S2 | Реш. | bi/aij | Ком. |
| Z | -2 | -3 | - | Не опт. | |||||
| S1 | x2→Б | ||||||||
| S2 | Б→S2 |
Экономический анализ:
Производства нет: 
.
Прибыль равна 0: 
.
Остатки ресурсов их запасам: 
.
=> план не оптимален, целесообразно включить в производство продукт 2, при этом прибыль составит 3руб. на 1 ед. дополнительного производства продукта 2 т.е. 
.
При увеличении 
остатки ресурсов уменьшаются:
Максимально возможный объём производства продукта. 2:
→ 
→ 
→ 
.
Следовательно, производство продукта 2 можно увеличить до 5 ед. При этом ресурс 2 расходуется полностью: 
, а остаток ресурса составит: 
ед. Новый план производства представлен в таблице 8.
Таблица 8
| Б | Z | x1 | x2 | x3 | S1 | S2 | Реш. | bi/aij | Ком. |
| Z | -1/2 | 11/2 | 3/2 | - | Не опт. | ||||
| S1 | 3/2 | 1/2 | -1/2 | 20/3 | x2→Б | ||||
| x2 | 1/2 | 3/2 | 1/2 | Б→S2 |
Экономический анализ:
- продукты 1 и 3 не производятся,
- объём производства продукта 2;
- размер получаемой прибыли.
=> план не оптимален; целесообразно увеличивать производство продукта 1, при этом прибыль увеличивается на 0.5 руб. на 1 ед. увеличения производства продукта 1, т.е. 
.
, остаток ресурса 1 идет на производство продукта 1.
- производство продукта 2 уменьшается, т.к. необходимо освободить часть ресурса 2 для производства продукта 1.
Максимально возможный объём производства продукта. 2:
→ 
→ 
→ 
.
Следовательно, производство продукта 1 можно увеличить до 
ед. При этом ресурс 1 расходуется полностью: 
, а объём производства товара 2 уменьшится до: 
ед.
Оптимальный план производства представлен в таблице 9.
Таблица 9
| Б | Z | x1 | x2 | x3 | S1 | S2 | Реш. | bi/aij | Ком. |
| Z | 17/3 | 1/3 | 4/3 | 55/3 | - | опт. | |||
| x1 | 1/3 | 2/3 | -1/2 | 20/3 | - | ||||
| x2 | 4/3 | -1/3 | 2/3 | 5/3 | - |
Экономический анализ:
- производство продукта 1;
- производство продукта 2;
|
|
|
- продукт 3 не производится.
- максимальная прибыль.
- ресурсы используются полностью.
Экономический анализ ресурсов:
Таблица 10
| Ресурс | Отаток | Статус | Ценность | Комментарий |
| дефицит | 
| Цена на ресурс может возрасти не более чем на руб., но его выгодно будет использовать Закупка 1 ед. ресурса по текущей цене и включение в производство дает дополнительную прибыль руб.
| ||
| дефицит | 
| Цена на ресурс может возрасти не, более чем на руб., но его выгодно будет использовать. Закупки 1 ед. ресурса по текущей цене и включение в производство дает дополнительную прибыль руб.
|
Вывод: В первую очередь стоит приобретать ресурс 2 как более ценный.
Экономический анализ продуктов:
Таблица 11
| Продукт | Статус | Относительная оценка в опт плане | Комментарий |
| базисный | Выгодный, производится в объеме и дает вклад в прибыль  руб.
| ||
| базисный | Выгодный, производится в объеме  и дает вклад в прибыль  руб.
| ||
| не базисный | 
| Не производится. Убыток от производства 1 ед. продукта по сравнению с опт. планом составит руб. Производство станет выгодным, если цена реализации увеличивается, по крайней мере, на руб.
|
