Пример решения задачи на тему «растяжение и сжатие»

Построить по длине бруса, согласно схеме нагружения (рис. 1.1), эпюры продольных сил N, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений. Сделать вывод о прочности бруса, сравнив значения нормальных напряжений в опасном сечении с допустимым, если материал бруса — сталь 3 ( МПа, МПа).

Рисунок 1.1

Дано: F₁ =10 кН; F₂ =12 кН; F₃ =30 кН; S₁ = 200 мм²; S₂ = 300 мм²;

а = 0,3 м, b = 0,4 м.

Решение:

Имеем четыре участка нагружения (АВ, ВС, СD, DK), в пределах которых напряжения будут иметь постоянные значения.

Участок 1 (АВ). Рассечём, мысленно, стержень в местах, где необходимо определить значения внутренних усилий и внутренних напряжений. Одну из частей (левую) отбросим (рис. 1.2), а для оставшейся составим уравнение равновесия , заменив при этом действие отброшенной части на оставшуюся неизвестной внутренней силой N₁.

,

Рисунок 1.2

Тогда, кН.

Значение напряжений на участке: МПа.

Абсолютная деформация участка (относительные перемещения концов участка): мм.

Участок 2 (ВС).

,

кН.

МПа.

мм.

Участок 3 (DС).

,

кН.

МПа.

мм.

Участок 4 (KD).

,

кН.

МПа.

мм.

Для построения эпюры перемещений поперечных сечений, определим расстояния, на которые переместятся концы участков нагружения относительно жестко заделанного левого конца стержня (точки К).

Перемещение точки D относительно точки К:

d_DK=Dl_KD=0,07 мм.

Тогда, перемещение точки С относительно точки К составит:

d_СK=d_DK +Dl_KD=0,07+0,18=0,25 мм.

Аналогично определим перемещения остальных концов участков:

d_ВK=d_СK +Dl_ВС=0,25+0,22= 0,47 мм,

d_АK=d_ВK +Dl_АВ=0,47+0,45= 0,92 мм.

Построив и проанализировав эпюры продольных сил N, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений (рис. 1.3), делаем вывод, что опасным участком вала является участок ВС с σ_max= 150 МПа.

Т.к. σ_max < [σ], то условие прочности выполняется.

Определим степень загруженности стержня:

.

Стержень нагружен на 62,5 %.

Рисунок 1.3