Пример выполнения задания на тему «геометрические характеристики поперечного сечения»

Определить: положение главных центральных осей и вычислить величины главных центральных моментов инерции.

Дано: Сечение (рис. 2.8) состоит из двутаврового профиля №30 (ГОСТ 8239-89) с площадью сечения S₂ = 46,5 см² и полосы 20×2 см

Рисунок 2.8

Решение:

1. Определяем координаты центра тяжести составного сечения в системе вспомогательных осей u и v (рис. 2.9).

Площадь сечения полосы: S ₁ = 40 см²;

Тогда: см;

см.

Рисунок 2.9.

2. Определяем осевые моменты инерции относительно вспомогательных центральных осей х ₀ у ₀, параллельных собственным главным центральным осям полосы и двутавра.

Момент инерции относительно оси х ₀:

,

где: – момент инерции полосы относительно оси х ₀;

– момент инерции двутавра относительно оси х ₀.

;

Осевой момент инерции полосы относительно оси х₁,

см⁴;

Расстояние до центра тяжести полосы по оси у:

см;

см⁴;

;

Осевой момент инерции двутавра относительно оси х₁,

см⁴ (по ГОСТ 8239–89);

Расстояние до центра тяжести двутавра по оси у:

см;

см⁴;

см⁴.

Момент инерции относительно оси у ₀:

;

где: – момент инерции полосы относительно оси у ₀;

– момент инерции двутавра относительно оси у ₀.

Осевой момент инерции полосы относительно оси у₁,

см⁴;

Расстояние до центра тяжести полосы по оси х:

см;

см⁴;

;

Осевой момент инерции двутавра относительно оси у₁,

см⁴ (по ГОСТ 8239–89);

Расстояние до центра тяжести полосы по оси х:

см;

см⁴;

см⁴.

3. Определим центробежный момент инерции сечения относительно осей х ₀, у ₀:

.

и , так как соответственно для полосы и двутавра оси х₁, у₁, и х₂, у₂ являются главными осями

см⁴.

4. Определяем угол наклона главных центральных осей к вспомогательным центральным осям

;

⁰;

⁰,

⁰.

5. Определяем главные центральные моменты инерции

.

Так как > , а ось х составляет меньший угол с осью х₀, чем с осью у₀,

то, очевидно

.

6. Показываем на чертеже положение главных осей инерции (рис. 2.10).

Рисунок 2.10.