Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Казанский государственный аграрный университет
Кафедра прикладной информатики и математики
Математика
Методическое пособие с контрольными заданиями
Для студентов заочного отделения
Казань 200
Тема 1. Элементы линейной алгебры.
Основные теоретические сведения.
1. Определителем (детерминантом) n -го порядка называется число , равное алгебраической сумме n!членов, составленных определенным образом из элементов определителя. Обозначение:
=det[ ]= . (1)
Алгебраическим дополнением элемента определителя n -го порядка называется определитель (n -1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i -й строки и j -го столбца и умноженный на .
Рекуррентная формула для вычисления определителя n -го порядка имеет вид
.
(разложение определителя по элементам i -й строки).
|
|
Определитель второго порядка
= .
2. Матрицей А=() размера называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:
А = .
Произведением матрицы А =() размера на матрицу В =() размера называется матрица С = АВ = размера с элементами
(2)
(поэлементное умножение i -й строки матрицы A на k -й столбец матрицы В).
Матрица размера называется квадратной матрицей n -го порядка. Элементы образуют главную диагональ матрицы. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы и обозначается или det A.
Матрица Е с элементами = называется единичной матрицей n -го порядка.
Матрица называется обратной к матрице А (det A 0), если
А=А =Е. (3)
Элементы обратной матрицы А =() вычисляется по формулам
, (4)
где –алгебраическое дополнение элемента , матрицы А, а ее определитель.
3. Матрица называется канонической, если в начале ее главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю; например,
.
Любая матрица А может быть приведена к каноническому виду путем элементарных преобразований: а) перестановки столбцов (строк); б) умножение столбца (строки) на число, отличное от нуля; в) прибавление к элементам какого-либо столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на число.
Матрицы переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными: А ~ .
Число r единиц, стоящих на главной диагонали канонической матрицы , не зависит от способа приведения матрицы А к каноническому виду и называется рангом исходной матрицы А: r (A)= r. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.
|
|
4. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x 1, x 2, x 3 имеет вид:
(5)
где коэффициенты системы; свободные члены. Определитель третьего порядка , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. Если , то единственное решение системы (2) выражается формулами Крамера:
(6)
где определители третьего порядка, получаемые из определителя системы заменой 1, 2 или 3-го столбца соответственно свободными членами
Систему (2) можно записать в матричной форме: АХ=В, где
, ,
Тогда ее решение имеет вид:
, (7)
если определитель системы отличен от нуля.
Если система линейных уравнений с n неизвестными совместна, а ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е.
, (8)
то система имеет бесконечное множество решений. Свободные n-r неизвестных выбирают произвольно, а главные r неизвестных определяются единственным образом через свободные неизвестные.
5. Вектор столбец:
называется собственным вектором квадратной матрицы го порядка соответствующим собственному значению , если он удовлетворяет матричному уравнению
, или
Здесь единичная матрица го порядка, а нулевой вектор-столбец. При условии, что вектор , получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений :
det (9)
Координаты собственного вектора , соответствующего собственному значению , являются решением системы уравнений
(10)
Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.
Пример 1. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных уравнений:
(11)
Решение. Вычислим определитель системы:
=
Так как , то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. (6). Для этого найдем :
,
Подставляя найденные значения определителей в формулы (6), получаем искомое решение системы:
Пример 2. Найти решение системы примера 1 с помощью обратной матрицы.
Решение. Здесь
, ,
Так как определитель матрицы системы отличен от нуля (см. пример 1): , то матрица имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :
Согласно формуле (2), матрица , обратная к , имеет вид:
Проверим правильность вычисления , исходя из определения обратной матрицы (3) и используя формулу (2):
Матричное решение системы (11) в силу формулы (7) имеет вид:
oткуда следует (из условия двух матриц), что
Пример 3. Определить собственные значения и собственные векторы матрицы:
Решение. Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид:
или
oткуда следует, что матрица имеет два собственных значения и Собственный вектор соответствующий , определяется из системы уравнений вида:
или
которая сводится к одному уравнению . Пологая , получаем решение в виде Следовательно, первый собственный вектор есть
Второй собственной вектор соответствующий собственному значению определяется из системы уравнений вида:
Эта система уравнений также сводится к одному уравнению пологая запишем ее решение в виде . Следовательно, второй собственный вектор есть
Таким образом, матрица имеет два собственных различных значения и и два собственных вектора, равных (с точностью до постоянного множителя) ,