Экстремумы функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Определение 7. Точка называется точкой минимума (максимума) функции, если существует такая окрестность точки, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство, ().

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).

Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если - точка экстремума дифференцируемой функции, то ее частные производные и в этой точке равны нулю:.

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция: а) определена в некоторой окрестности критической точки, в которой и; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Тогда, если, то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если, то функция в точке экстремума не имеет. В случае вопрос о наличии экстремума остается открытым.

При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти частные производные первого порядка: и.

2. Решить систему уравнений и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка:,,.

4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.

5. Найти экстремумы функции.

Пример 6. Найти экстремумы функции.

Решение. 1. Находим частные производные и:

2. Для определения критических точек решаем систему уравнений

или

Из первого уравнения системы находим:. Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим

откуда

Находим значения y, соответствующие значениям. Подставляя значения в уравнение, получим:.

Таким образом, имеем две критические точки: и.

3. Находим частные производные второго порядка:

4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки имеем:

,,.

Так как

,

то в точке экстремума нет.

В точке:

,,

и, следовательно,

.

Значит, в силу достаточного условия экстремума, в точке функция имеет минимум, так как в этой точке и.

5. Находим значение функции в точке: