Числовые характеристики системы двух случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции

В качестве числовых характеристик системы случайного двумерного вектора (X,Y) обычно рассматриваются начальные и центральные моменты различных порядков.

Начальным моментом порядка k+s системы двух случайных величин (X,Y) или двумерного случайного вектора называется математическое ожидание произведения X^k на Y^s

a_k,s=M[x^ky^s] (1)

Центральным моментом порядка k+s системы двух случайных величин (X,Y) называется математическое ожидание произведения на

(2)

где , - центрированные случайные величины.

Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания.

Для системы дискретных случайных величин (X,Y) получим

(3)

(4)

P{X=x_i,Y=y_j}=p_ij

Для системы непрерывных случайных величин (X,Y)

(5)

(6)

Порядком начального (или центрального момента) называется сумма его индексов k+s.

Начальные моменты первого порядка:

a_1,0 = M[X¹Y⁰] = M[X] = m_x, a_1,0 = m_x

a_0,1 = M[X⁰Y¹] = m_y, a_0,1 = m_y (7)

представляют собой математические ожидания случайных величин X и Y.

Центральные моменты первого порядка естественно равны нулю.

или

Начальные моменты второго порядка:

(8) или

Центральные моменты второго порядка:

(9)

Первые два момента представляют дисперсию, а третий называется ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин (X,Y), обозначается K_xy:

(10)

По определению ковариации

K_xy = K_yx (11)

т.е. при перемене индексов местами ковариация не меняется.

Дисперсию случайных величин можно рассматривать как частный случай ковариации:

; (12)

т.е. дисперсия случайных величин есть не что иное, как "ковариация ее с самой собой". (Для независимых случайных величин ковариация равна 0. Доказать самостоятельно).

Ковариацию K_xy удобно выражать через начальные моменты низших порядков:

K_xy=a_1,1-a_1,0×a_0,1 или К_xy=M[X×Y]-M[X]×M[Y] (13)

Полезно запомнить эту формулу: ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий.

Ковариация характеризует не только степень зависимости случайных величин, но также их рассеивание вокруг точки (m_x,m_y).

Размерность ковариации равна произведению размерностей случайных величин X и Y. Чтобы получить безразмерную величину, характеризующую только зависимость, ковариацию делят на произведение с.к.о. s_xs_y.

r_xy=K_xy/s_xs_y (14)

Величина r_xy называется коэффициентом корреляции случайных величин X и Y. Этот коэффициент характеризует степень только линейной зависимости этих величин. Зависимость проявляется в том, что при возрастании одной случайной величины другая проявляет тенденцию также возрастать (или убывать). В первом случае r_xy>0 и говорят, что случайные величины X и Y связаны положительной корреляцией, во втором r_xy<0, и корреляция отрицательна.

Для любых случайных величин X и Y

-1£r_xy£1.

Если ковариация двух случайных величин равна нулю: K_xy=0, то случайные величины X и Y называются некоррелированными, если K_xy¹0, то коррелированными.

Из независимости случайных величин следует их некоррелированность; но из некоррелированности случайных величин (r_xy=0) еще не вытекает их независимость. Если r_xy=0, это означает только отсутствие линейной связи между случайными величинами; любой другой вид связи может при этом присутствовать.