Числовые характеристики функций случайных величин

Пусть имеется вероятностное пространство <W,F,P > и на нем существует случайная величина X скалярная или векторная. Пусть задана некоторая случайная величина Y=j(x).

Необходимо определить 1) закон распределения случайной величины Y;

2) числовые характеристики этой случайной величины, если известен закон распределения случайной величины Х.

В инженерных применениях теории вероятностей встречаются задачи такого рода. Например,на вход преобразователя j подается несколько случайных воздействий (X₁,X₂,...,X_n), а на выходе снимается несколько случайных величин (Y₁,Y₂,...,Y_k) (в общем случаe k¹n). Требуется, зная закон распределения (в некоторых случаях - только числовые характеристики) входной системы (X₁,X₂,...,X_n), найти числовые характеристики выходной системы (Y₁,Y₂,...,Y_k).

Преобразователем j может быть техническое устройство (ТУ), или в его роли может выступать некоторое производство, у которого входы (X₁,X₂,...,X_n), - ресурсы: X₁ - сырье, X₂ - топливо, X₃ - энергия, X₄ - вода и т.п. Выходы - различного рода продукция (Y₁,Y₂,...,Y_k).

Моменты случайной величины Y=j(X) можно найти по следующим формулам:

Математическое ожидание: m_y=M[Y]=M[j(x)]

m_y=M[Y]=M[j(x)]=

Д_y=Д[Y] =

Аналогично определяются начальные и центральные моменты любых порядков случайной величины Y.

Начальный момент L-того порядка случайной величины Y

(1) a_L[Y]=M[Y^L]=

Центральный момент порядка L случайной величины Y

(2) m_L[Y]=

Если X - векторная случайная величина или рассматривается система случайных величин (X₁,...,X_n) и Y_j=j_j(x₁,...,x_n), j= , то

(3)

p_i=p(X₁=x_i1,..., X_n=x_in), =(x_i1,..., x_in)

(4)

Мы видим, что для нахождения числовых характеристик функции Y=j(X) [или Y_j=j_j(X₁,...,X_n), j= ] можно и не знать ее закон распределения, а достаточно знать закон распределения аргумента.