2015-01-21
1965
1. y = ex. Обратной для этой функции является функция x = ln y. Мы уже доказали, что 
. Поэтому согласно сформулированной выше теореме
Итак,
| (ex) ' = ex |
2. Аналогично можно показать, что (a x) ' = a x·ln a. Докажите самостоятельно.
3. y = arcsin x. Рассмотрим обратную функцию x = sin y. Эта функция в интервале – π/2< y <π/2 монотонна. Ее производная x ' = cos y не обращается в этом интервале в нуль. Следовательно, по теореме о производной обратной функции
.
Но на (–π/2; π/2) 
.
Поэтому
4. Аналогично
Докажите самостоятельно.
5. y = arctg x. Эта функция по определению удовлетворяет условию существования обратной функции на интервале –π/2< y < π/2. При этом обратная функция x = tg y монотонна. По ранее доказанному 
.
Следовательно, y ' = cos2 y. Но 
.
Поэтому
6.
7. Используя эти формулы, найти производные следующих функций
