Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора

Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.

.

Как будет показано далее все элементарные функции являются непрерывными в своих областях определения. В связи с этим напомним, что к числу, так называемых, основных элементарных функций относятся:

– постоянная функция:

– степенная функция: ;

– показательная функция: ;

– логарифмическая функция: ;

– тригонометрические функции:

;

– обратные тригонометрические функции:

.

В свою очередь, элементарной называется всякая функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и образования суперпозиций.

Теорема 1 (О непрерывности сужения). Пусть функция непрерывна в точке и причем . Тогда функция также непрерывна в точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из определения сужения и определения непрерывности.

Теорема 2 (Арифметические свойства непрерывных функций). Пусть функции и определены на множестве и непрерывны в точке . Тогда и функции:

, , , (при на )

непрерывны в точке .

Теорема 3 (О локальной ограниченности). Пусть функция определена на множестве и непрерывна в точке . Тогда существует такая окрестность точки , что функция ограничена на множестве .

Теорема 4 (О стабилизации знака). Пусть функция определена на множестве и непрерывна в точке . Тогда если , то существует такая окрестность точки , что .

Наконец отметим еще две простые теоремы

Теорема 5. Пусть функция определена на множестве и непрерывна в точке, а функцияопределена на множестве и непрерывна в точке , причем и . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольную последовательность , . Так как - непрерывна в точке , то

,

а так как , то . Поэтому, в силу непрерывности функции в точке , имеем

,

то есть

,

что и означает, что функция - непрерывна в точке . 

Пусть функция определена на множестве и . Рассмотрим множества:

Определение 1. Функция называется непрерывной слева (непрерывной справа) в точке , если функция (соответственно ) непрерывна в точке .

Замечание. На языке определение, например, непрерывности слева, формулируется следующим образом: функция называется непрерывной слева в точке , если такое, что удовлетворяющего неравенствам

справедливо неравенство

.

Теорема 6. Функция непрерывна в точке она непрерывна в ней слева и справа одновременно.

Если - изолированная точка множества , то утверждение очевидно. Если же - точка сгущения множества , то оно вытекает из аналогичной теоремы об односторонних пределах.

Определение 1. Пусть функция определена на множестве и . Если функция непрерывна в точке , то она называется точкой непрерывности функции . В противном случае, точка называется точкой разрыва функции .

Замечание 1. Так как всякая изолированная точка множества является точкой непрерывности определенной на нем функции , то точками разрыва могут быть только точки сгущения множества .

Замечание 2. Если – точка разрыва функции , то либо предел не существует, либо он существует, но .

Определение 2. Точка разрыва 1-го рода называется точкой устранимого разрыва функции , если в ней существует предел функции , но он не равен ее значению в этой точке.

Замечание 4. Если точка – точка устранимого разрыва функции , то изменив ее значение в этой точке на значение, равное величине предела в этой точке, получим непрерывную функцию в этой точке

.

Этим и объясняется термин точка устранимого разрыва.

В следующих двух определениях предполагается, что точка принадлежит области определения функции вместе с некоторой своей окрестностью .

Определение 3. Пусть – точка разрыва функции . Если оба односторонних предела и существуют и конечны, то она называется точкой разрыва 1-го рода

Определение 4. Точка разрыва функции называется точкой разрыва 2-го рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода.

Замечание 3. Иными словамиточка разрыва функции является точкой разрыва 2-го рода, если в ней хотя бы один из односторонних пределов не существует, либо является бесконечным.

Проиллюстрируем данные выше определения на некоторых примерах.

Пример 1 (всюду разрывной функции). Функция Дирихле, определенная на всей числовой оси равенствами:

является разрывной в каждой точке . Действительно, для любой последовательности рациональных чисел , сходящейся к точке , имеем , а для любой последовательности иррациональных чисел , , в свою очередь, имеем . Следовательно, ни в одной точке не существует предел и, следовательно каждая точка – точка разрыва функции Дирихле. Более того, нетрудно видеть, что ни в одной точке не существуют оба односторонних придела и , так как описанные выше последовательности и , с одной стороны, можно выбрать так, что , а с другой стороны, можно выбрать и так, что . Таким образом, каждая точка – точка разрыва 2-го рода функции Дирихле.

Пример 2. Функция «сигнум »

очевидно, разрывна в точке , причем эта точка – точка разрыва 1-го рода.

Пример 3. Функция разрывна в точке , которая, очевидно, является точкой устранимого разрыва.

Определение 1. Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого такое, что , удовлетворяющих неравенству

(1)

имеет место неравенство

.

(2)

Замечание 1. Очевидно, если функция равномерно непрерывна на множестве , то она и непрерывна на нем, т.е. непрерывна в каждой точке этого множества. Как показывает приводимый ниже пример, обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т.е. из непрерывности функции на множестве , вообще говоря, не следует, что она равномерно непрерывна на этом множестве.

Пример 1. Функция

непрерывна на множестве . Покажем, что она не является равномерно непрерывной на нем. Предположим противное, т.е. что она все же является равномерно непрерывной на множестве . Тогда такое, что при

, ,

(3)

будет справедливо неравенство

.

(4)

Пусть . Тогда условия (3) выполнены и, следовательно, имеет место неравенство (4). Это неравенство, в частности показывает, что при фиксированном , функция

ограничена на интервале . Но это противоречит тому, что . Таким образом, непрерывная на множестве функция не является равномерно непрерывной на этом множестве.

Замечание 2. Отличие понятия равномерно непрерывной на множестве функции от понятия непрерывной на нем функции состоит в том, что если функция – непрерывна на множестве , то для каждой точки и для каждого существует свое, т.е. зависящее и от , и от точки число , которое для всех , удовлетворяющих неравенству

,

(5)

гарантирует выполнение неравенства

.

(6)

Если же функция – равномерно непрерывна на множестве , то для каждого независимо от выбора точки существует зависящее только от выбранного число , которое для всех , удовлетворяющих неравенству (5), гарантирует выполнение неравенства (6).

Следующая теорема указывает тот важный, частный случай, когда из непрерывности функции на множестве следует также и ее равномерная непрерывность на том же множестве.

Теорема 1 (Кантора). Непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на этом отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Пусть функция непрерывна на отрезке , но не является равномерно непрерывной на нем. Тогда существует такое , что для любого найдутся такие точки , , что

Рассмотрим последовательность . Тогда, в соответствии со сказанным выше, для любого найдутся такие , что наряду с неравенством

(7)

имеет место и неравенство

.

(8)

Так как , то последовательность ограничена. Тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть . Очевидно . Рассмотрим последовательность и покажем, что . Действительно, в силу неравенства (7) и определения подпоследовательности имеем

и, следовательно,

.

Поэтому в силу того, что

и ,

по принципу двух милиционеров имеем .

Так как функция непрерывна на отрезке , и, стало быть – и в точке , а

и ,

то

и .

Учитывая теперь, что из неравенства (8) вытекает неравенство

, и переходя в последнем неравенстве к пределу при , получим , что противоречит выбору □

Колебанием функции на отрезке называется величина

.

Нетрудно убедиться, что

(9)

С учетом равенств (9) легко доказать, что справедлива следующая

Теорема 2. Для того, чтобы функция была равномерно непрерывной на отрезке необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое , что для любого отрезка длиной меньшей колебание функции на этом отрезке было меньше , т.е. .

Еще один критерий равномерной непрерывности можно сформулировать в терминах так называемого модуля непрерывности функции : модулем непрерывности функции , определенной на множестве называется определенная при функция

.

Теорема 3. Для того, чтобы функция была равномерно непрерывной на множестве , необходимо и достаточно, чтобы ее модуль непрерывности на этом множестве стремился к нулю при , т.е.