Непрерывность дифференцируемой функции

Функция y = f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x ₀, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [ а; b ] или интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [ а; b ] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Доказательство. Если , то

,

где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δ x →0. Но тогда

Δ y = f '(x₀) Δ x +αΔ x => Δ y →0 при Δ x →0, т.е f(x) – f(x₀) →0 при x → x ₀, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x ₀. Что и требовалось доказать.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).

Рассмотрим на рисунке точки а, b, c.

В точке a при Δ x →0 отношение не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Δ x →0–0 и Δ x →0+0). В точке A графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к ₁ и к ₂. Такой тип точек называют угловыми точками.

В точке b при Δ x →0 отношение является знакопостоянной бесконечно большой величиной . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" c вертикальной касательной.

В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиеся вертикальные касательные. Тип – "точка возврата" с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.

Примеры.

1. Рассмотрим функцию y=|x|. Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к. .

Покажем, что она не имеет производной в этой точке.

f (0+Δ x) = f (Δ x) = |Δ x |. Следовательно, Δ y = f (Δ x) – f (0) = |Δ x |

Но тогда при Δ x < 0 (т.е. при Δ x стремящемся к 0 слева)

А при Δ x > 0

Т.о., отношение при Δ x → 0 справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что отношение предела не имеет, т.е. производная функции y=|x | в точке x = 0 не существует. Геометрически это значит, что в точке x = 0 данная "кривая" не имеет определенной касательной (в этой точке их две).

2. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Выясним, имеет ли эта функция производную при x = 0.

Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке x = 0. Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол p/2, т.е. совпадает с осью Oy.

Производные элементарных функций.

1.
y = xⁿ. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:

(a + b)ⁿ = a ⁿ+ n·a ^n-1· b + 1/2? n(n – 1)a ^n-2? b ²+ 1/(2?3)? n(n – 1)(n – 2)a^n-3b³+…+ bⁿ,

можно доказать, что

Итак, если x получает приращение Δ x, то f(x +Δ x) = (x + Δ x)ⁿ, и, следовательно,

Δ y =(x +Δ x) ⁿ – xⁿ = n·x^n-1 ·Δ x + 1/2·n·(n– 1 )·x^n-2 ·Δ x² +…+Δ xⁿ.

Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δ x в степени выше 3.

Найдем предел:

Мы доказали эту формулу для n? N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n? R.

2. y = sin x. Вновь воспользуемся определением производной.

Так как, f(x +Δ x)= sin(x +Δ x), то

Таким образом,

3. Аналогично можно показать, что

4. Рассмотрим функцию y = ln x.

Имеем f (x +Δ x)=ln(x +Δ x). Поэтому

Итак,

5. Используя свойства логарифма можно показать, что

Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.