Методы половинного деления и хорд

Одной из часто встречающихся практических задач является вычисление корней нелинейного уравнения. В общем случае уравнение имеет вид

. (21.1)

Корнем уравнения называется такое значение аргумента х₀, при котором это уравнение обращается в тождество. Графически корень уравнения соответствует значению аргумента х₀, при котором график функции пересекает ось абсцисс.

Даже в случае обнаружения достаточно узкого участка, содержащего корень уравнения, точное решение можно найти только в исключительных случаях. Численные методы позволяют найти приближенное значение корня. Фактически всегда решается уравнение

или , (21.2)

где e - некоторая положительная достаточно малая величина. Попытка поиска точного решения или, что то же самое, задание в программе e=0 приводит к зацикливанию вычислительной программы.

Будем считать, что функция f (x) на интервале [ a,b ] непрерывна. При этом функция может не быть гладкой, т.е. содержать изломы, но на этом интервале не должна иметь разрывов.

Задача распадается на несколько отдельных задач:

1) оценить диапазон определения функции (диапазон значений, которые может принимать аргумент);

2) исследовать количество, характер и расположение корней;

3) найти приближенные значения корней;

4) выбрать из них интересующие и вычислить их с требуемой точностью.

Зависимость f (x) может выражаться с помощью системы уравнений и не иметь аналитического вида. Однако и в этом случае мы должны иметь возможность для любого х из допустимого диапазона найти соответствующее ему значение f (x).

Если аналитический вид уравнения известен, то первая задача решается путем анализа вида функции f (x). Например, в уравнении