Построение эпюр внутренних усилий в кривых брусьях

В плоском криволинейном стержне так же, как в плоской раме, состоящей из прямолинейных стержней, возникает три внутренних усилия: N, Q и М. Процесс определения внутренних усилий в криволинейном стержне тот же, что и в раме. Особенность состоит в новом правиле знаков для изгибающего момента: изгибающий момент считается положительным, если он увеличивает кривизну стержня (Если рассматриваемый стержень имеет и прямолинейный, и криволинейный участки, то для того, чтобы не было противоречия из-за разного правила знаков для изгибающего момента в прямолинейной и криволинейной частях стержня, принято строить эпюру изгибающего момента со стороны растянутых волокон без определения знака). Правила знаков для продольной и поперечной сил те же, что и при их определении в плоских рамах.

Построение эпюр внутренних усилий рассмотрим на конкретном примере плоской круговой балки (т. е. балки с осью, очерченной по дуге окружности), изображенной на рис. 3, а.

Рис. 3

Для определения опорных реакций составим уравнения равно­весия:

,

откуда

;

,

откуда

;

,

откуда

В этих выражениях величины и представляют собой соответственно вертикальную и горизонтальную составляющие силы Р; ось горизонтальна.

Определяем значение радиуса r оси балки и центрального угла . Из рис. 3, а:

следовательно,

,

откуда

и

и

Проведем через произвольную точку О участка 1 балки попе­речное сечение n-n. Положение этого сечения определяется углом (рис.3, а). С сечением n-n совместим ось у подвижной системы координат; ось х перпендикулярна ей и касательна к оси балки в точке О. Координаты точки О в неподвижной системе коорди­нат х ₀ у ₀ равны:

;

.

Составим выражения изгибающего момента , поперечной силы и продольной силы в попе­речных сечениях участка I балки:

;

;

.

Аналогично составим выражения для участка II балки:

;

.

По полученным значениям усилий в поперечных сечениях балки на рис. 3, б, в, г построены эпюры М, Q и N.

Связь между усилиями М, Q и N, действующими в попереч­ных сечениях кривого бруса, определяется следующими дифферен­циальными зависимостями:

; (1)

; (2)

. (3)

где q и t — интенсивности распределенных нагрузок соответственно перпендикулярной и параллельной оси бруса; ds - длина элемен­тарного отрезка оси кривого бруса.

Формула (1) аналогична формуле Журавского для прямых брусьев.

Зависимости (1) - (3) могут использоваться для проверки построенных эпюр М, Q и N. Проверим с их помощью эпюры, изображенные на рис. 3.

На участке I балки (см. рис. 3, а) ординаты эпюры Q поло­жительны, а на участке II — отрицательны. Поэтому в соответ­ствии с зависимостями (1) и (3) значения М и N на участке I возрастают слева направо (т.е. с увеличением криволинейной координаты s), а на участке II — убывают. Ординаты эпюры N на участке I отрицательны, а на участке II — положительны; в соот­ветствии с зависимостью (2) значения Q на участке I возра­стают, а на участке II — убывают.

Производная на отрезке, например, 2-3 оси балки (см. рис. 3, а) имеет среднее значение, равное (см. рис.3, 6)

,

где длина участка

.

Этому среднему значению производной в соответствии с зави­симостью (1) примерно равна средняя величина Q на отрезке 2-3 (см. рис. 3, в). Производная на участке, например, 3-4балки имеет среднее значение

.

В соответствии с зависимостью (2) такое же примерно зна­чение на отрезке 3-4 имеет среднее отношение , равное

.

Аналогично можно проверить выполнение условий (1)-(3) и на других отрезках оси балки.