Кривая Вёлера

По вертикальной оси отклады-ваются максимальные напряжения, возникающие при колебании конструкции, а по горизонтальной оси число циклов нагружения до разрушения материала. Видно, что чем меньше , тем больше циклов выдержит материал. Для

стали кривая стремится к асимптоте при , которую называют пределом выносливости. Это напряжение, при котором не происходит усталостного разрушения данного материала после произвольно большого числа циклов (обычно берут циклов).

С помощью кривых Вёлера определяют срок службы элементов конструкций при действии переменных напряжений, возникающих при колебаниях.

На величину предела выносливости влияют многие факторы:

Концентрация напряжений. Она возникает в точках тела вблизи мест приложения сосредоточенных сил, около выточек, у краев отверстий, в местах резкого изменения формы тела, у надрезов и т.д. Концентрация значительно снижает предел выносливости.

Качество поверхности детали. Снижение предела выносливости тем больше, чем грубее поверхностная обработка детали, причем это снижение более значительно для материалов с высокими пределами прочности.

Абсолютные размеры детали. С увеличением размеров предел выносливости уменьшается. Объясняют это тем, что в больших деталях с большим объемом материала больше дефектных мест (раковины, микротрещины, неметаллические включения, следы от обработки поверхности).

Внешняя среда. Коррозионная среда (вода, соленая вода, кислоты, пары и т.д.) резко снижают усталостную прочность. Желательно использовать защитные покрытия поверхностей (окраска, цинкование, азотирование и т.д.)

1. Учет сил инерции. Продольный и поперечный удар.

I. Учет сил инерции

Величина элементарной силы инерции , действующей на частицу тела равна

(9.1)

Здесь: масса, вес, объем частицы; объемный вес материала частицы; м/сек² - ускорение свободного падения; ускорение при движении частицы.

Сила инерции направлена в сторону, противоположную направлению ускорения.

При расчете стержневых конструкций объемные силы инерции удобно представить распределенной погонной инерционной нагрузкой .

Стержень длиной и площадью поперечного сечения А имеет объем . Подставим это в (9.1)

Погонная нагрузка – это нагрузка на единицу длины

(9.2)

Пример 1. Подъем груза на длинном тросе с постоянным ускорением а.

Дано: вес груза, длина, площадь сечения троса и его объемный вес. В сечении троса на расстояние от груза возникает динамическая сила, которая должна уравновешивать: инерционную силу от груза, вес троса и погонную инерционную нагрузку от троса. С учетом (9.1) и (9.2) получим (1)

Здесь: динамический коэффициент, статическое усилие в сечении троса.

Обозначим: динамическое напряжение, статическое напряжение в тросе.

Поделив (1) на получим

Условие прочности троса , где допускаемое напряжение.

Пример 2. Вращение стержня в горизонтальной плоскости.

Дано: длина, пло-щадь сечения, объемный вес материала стержня; угловая скорость вращения. На расстояние от оси вращения выделим произвольное

сечение. При равномерном вращении стержня центростремительное ускорение , действующие на частицы стержня в этом сечении, определяется по правилам кинематики , а погонная инерционная центробежная нагрузка направлена от оси вращения и по (9.2) равна

(2)

Инерционные силы вызывают растяжение стержня силой в сечении стержня. Т.к линейно меняется по длине стержня ( в первой степени в (2)), то найдем суммированием (интегрированием) на участке от до

(3)

Из (3) видно, при (в середине стержня)

(4)

Далее можно найти максимальное напряжение в стержне и записать условие его прочности.

(5)

Из (5) можно найти max допускаемую скорость вращения стержня.

II. Расчеты на удар тел

Продолжительность удара очень мала и сложно вычислить ускорения частиц ударяемой конструкции. Поэтому, воспользоваться принципом Д¢Аламбера затруднительно и обычно здесь используют закон сохранения энергии.

Для удобства расчета на удар вводят условное понятие динамическая сила . Эта такая сила, которая, будучи статически приложенной в точке удара, вызовет такие же перемещения (деформации) ударяемого тела, как и при ударе.

Расчет на удар без учета массы ударяемого бруса

Рассмотрим закрепленный упругий брус, на который с высоты падает груз весом . При этом брус может испытывать: а) продольные деформации (колонны, сваи) рис. 9.1а, б) изгибные деформации (балки) рис. 9.1б.

Рис. 9.1

После удара, когда груз останавливается в нижнем положении, деформации каждого сечения бруса достигают наибольших значений. Их обозначим: деформации в точке удара, в любом сечении бруса с координатой (на рис. 9.1б в эти деформации (прогибы) показаны сплошной линией). Затем происходят затухающие колебания бруса, в конце которых устанавливаются деформации (в точке удара) и в любом сечении, соответствующие статическому действию груза (на рис. 9.1б эти деформации показаны пунктирной линией).

Расчет проведем при следующих допущениях:

4. Брус идеально упругий, справедлив закон Гука, модуль одинаков при динамическом и статическом нагружении;

5. Массу ударяемого бруса пока не учитываем;

6. Эпюра перемещений сечений бруса от удара подобна эпюре перемещений от статического действия груза . (На рис. 9.1б графики прогибов, обозначенные сплошной и пунктирной линиями, подобны). Обозначим

динамический коэффициент (9.3)

Из третьего допущения и рис. 9.1б следует с учетом (9.3)

(9.4)

Согласно принятого выше определения динамической силы , от ее статического приложения возникнут деформации D и , а от статического нагружения силой появятся и . По закону Гука деформации пропорциональны нагрузкам, поэтому

(6)

По закону Гука и напряжения пропорциональны нагрузкам

(9.5)

Здесь динамические напряжения, т.е. возникают в брусе при ударе; статические напряжения, возникают при статическом нагружении силой .

Из (9.4) и (9.5) следует

(9.6)

Итак, деформации и напряжения в любом сечении бруса при ударе можно определить по (9.6), если вычислить динамический коэффициент. А деформации и напряжения при любом виде статической нагрузки (осевой, изгибной, кручении и т.д.) мы умеем определять из вышеприведенных разделов.

Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Груз при падении проходит путь и совершает работу .

При статическом нагружении силой получим ту же деформацию, что и при ударе, потенциальная энергия деформации бруса при этом, как известно, определяется так . Сила прикладывается в т. К, куда падает груз . По закону сохранения энергии , т.е.

(7)

Из (6) , подставим в (7) получим

(8)

Сокращаем на и учитывая из (9.4), что найдем

или (9)

Относительно неизвестной получили стандартное квадратное уравнение типа

Здесь . Решение квадратного уравнения известно из справочников: . В нашем случае получим

(10)

При ударе всегда , поэтому выбираем знак (+) и формулу (10) преобразуем так

или окончательно (11)

Согласно (9.4) , тогда из (11) получим

(9.8)

Величина D_ст - статическая деформация бруса в точке удара от статического приложения силы в точке «K» падения груза весом . Определяется известными методами:

Рис. 9.1а: По закону Гука при осевой нагрузке

Рис. 9.1б: прогиб балки в т. K от силы , приложенной в т. K. Определяется известным методом Клебша из раздела «Плоский изгиб балок».

Скорость груза, падающего с высоты , как известно, определяется так , откуда . Подставим это в (9.8) получим

(9.9)

Преобразуем так:

(12)

Здесь: энергия падающего груза в момент начала удара;

потенциальная энергия деформации бруса от статического нагружения его силой в т. K.

С учетом (12) из (9.8) найдем

(9.10)

Из (9.8) следует, что чем больше , т.е. чем больше деформируется брус от статической нагрузки , тем меньше и по (9.6) меньше напряжения при ударе. Так появилась идея ставить в конструкциях, испытывающих ударные нагрузки, различные амортизаторы, рессоры, пружины и поясняется поговорка «знал бы, где упаду, подстелил бы солому».

Пример. Порядок расчета балки на удар.

P	На балку с высоты в т. K падает груз . Найти максимальное напряжение в балке от удара, максимальные прогибы в пролете и консоли. В т. K балки статически при-

кладываем силу , равную весу груза (рис.б). Определяем от нее опорные реакции и строим эпюру изгибающих моментов. Из Эп. находим и, зная размеры и форму поперечного сечения балки, вычисляем максимальные напряжения от статического нагружения. Для вычислений по (9.6) надо знать .

Для балки б) со статической силой для двух участков запишем дифференциальные уравнения изгиба по методу Клебша, интегрируем их и из условий закрепления балки находим константы интегрирования. Строим график прогибов балки, приблизительный вид которого показан на рис.б. Находим прогиб балки в сечении «K», это и есть . По (9.8) вычисляем и далее

В консоли максимальный прогиб при ударе .

В пролете находим максимальный прогиб от статического нагружения и далее максимальный прогиб при ударе .

Дальше можно проверить балку на прочность и жесткость обычными методами.

Существует термин «падение с высоты ». Из (9.8) в этом случае получим . Чтобы этого не было, груз надо опускать плавно не только до соприкосновения с конструкцией, но и дальше, при перемещении груза вместе с деформируемой конструкцией до полной их остановки.

Литература

1. Сопротивление материалов. Под редакцией А.Ф. Смирнова. Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1975.- 480с.

2. Каюмов Р.А. Сопротивление материалов. Конспект лекций. Офсет, КГАСУ, Казань, 2010, 170с.

3. Мартышев В.П. Сопротивление материалов. Курс лекций. Под грифом УМО вузов РФ. КГАСУ ЗАО “Новое время”, 2010.- 200с.

4. Атаров Н.М. Сопротивление материалов в примерах и задачах, М.:Инфра-М, 2010. – 412с.

5. Уманский А.А. и др. Сборник задач по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1973.- 336с.