Дифференциальное уравнение прогнутой оси балки. Определение деформаций балки методом начальных параметров

Угол поворота сечения (θ) – это угол между плоскостями поперечных сечений до и после деформации

Угол θ также можно задать угол между недеформированной осью и касательной проведенной к изогнутой оси в рассматриваемой точке.

Θ=dy/dx.

Прогиб (у)- перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендикулярном недеформированной оси бруса.

Изогнутая ось балки искривляется в силовой плоскости, тоесть сечения получают поступательные перемещение и поворачивается.

Перемещение вверх-у>0

Перемещение вниз-y<0

Угол поворота по часовой - q<0. Угол поворота против часовой- q>0.

Кривизна изогнутой оси балки;

1/ρ=M(x)/EJ_z

Точное уравнение изогнутой оси бруса;

1/ρ=(d²y/dx²)/[1+(dy/dx)²]^3/2

Основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки;d²y/dx²=M(x)/EJ_Z

Закон изменения прогиба по длине балки;

y(x)=∫dx∫(M(x)/EJ_z)dx+cx+D

Производные постоянные С и D находятся из граничных условий;

а) для консоли:

у_с=у(0), Q_с=Q(0)=0

в) для двухопорной балки

у_а=у(0)=0, у_в=у(3а)=0

Пять правил метода начальных парамеров;

1)начало координат всегда помещаем в первую крайнюю левую точку точку оси бруса. Это начало оси Х для всех участков.

2)при составлении выражения М(х) всегда учитывают внешние силовые факторы расположенные слева от поперечного сечения разреза.

3)в выражении М(х) внешний момент М_А умножают на скобку (х-а)⁰, где а –координата сечения в котором приложен момент М_А

4)если распределенная нагрузка q обрывается до поперечного сечения разреза, то ее дополняют фиктивной q, а для восстановления действительных условий нагружения вводят в рассмотрение компенсирующую нагрузку q равную по величине но противоположную по направлению.

5)интегрируем не раскрывая скобки.