Теплопроводность в ребре постоянного поперечного сечения

Постановка задачи. Рассмотрим ребро постоянного поперечного сечения f = const, периметр сечения u = const. Длина ребра l. Коэффициент теплопроводности материала

l = const.

У основания ребра поддерживается температура . Ребро находится в среде с температурой , коэффициент теплоотдачи a. Принимая, что f мало (ребро тонкое), а l достаточно велико, пренебрегаем градиентом температуры в поперечном направлении сечения ребра (температура центра сечения ребра и температура его поверхности равны). Записывая равенство , получаем → 0. Если подставить размерность величин, стоящих в правой части равенства, то размерности сократятся. Безразмерный комплекс величин называется безразмерным числом Био. Ребро считается тонким, если .

Полагая, что температура изменяется только вдоль ребра, найдем закономерность изменения температуры по длине ребра и тепловой поток, передаваемый с поверхности ребра в окружающую среду.

Для решения задачи выделим на расстоянии х от основания ребра элемент длиной d x и составим для него уравнение теплового баланса

Здесь и – тепловые потоки, передающиеся теплопроводностью согласно закону Био-Фурье. Их можно представить в виде , , – теплота, отдаваемая с поверхности выделенного элемента ребра, .

Введем понятие избыточной температуры . Подставим значения .

Раскрывая скобки и сокращая на d x левую и правую части, получаем

или ,

где . Общее решение уравнения имеет вид

Значения постоянных интегрирования С ₁ и С ₂ найдем из граничных условий: при x = 0 ; при x = l , т.е. количеством теплоты, переданным в окружающую среду с торца ребра, пренебрегаем, так как ребро тонкое. Подставляя граничные условия в общее решение, находим и и получаем частное решение в виде

Из математики известно, что , а . Умножим числитель и знаменатель на 1/2.

Тогда .

Следовательно, температура по длине ребра изменяется по экспоненциальному закону.

Тепловой поток, передаваемый ребром в окружающую среду, и равный тепловому потоку, прошедшему теплопроводностью через основание ребра, найдется по формуле

Подставляя значение m, получаем

Теплопередача через ребристую стенку (уточненный расчет)

Введем понятие коэффициента эффективности работы ребра , где – тепловой поток, передаваемый ребром в окружающую среду; – тепловой поток, передаваемый этим ребром, когда температура вдоль него не изменяется, что теоретически возможно при l = ¥, поэтому . Тогда

С введением коэффициента Ф выражение для теплового потока с поверхности ребра запишется следующим образом .

Рассмотрим плоскую стенку с прямыми ребрами (рис. 1.14). Условия задачи и схема ее решения аналогичны приведенным выше при приближенном расчете задачи.

где – тепловые потоки с межреберной поверхности и поверхности ребер ребристой стенки; – поверхность ребристой стенки, ; – приведенный коэффициент теплоотдачи, .

Выражая разность температур из каждого уравнения, и складывая их,

получаем

Если известна температура , то рассчитать теплоотдачу с ребристой поверхности можно проще, не прибегая к вычислению приведенного коэффициента теплоотдачи.