Нагревание (охлаждение) тел конечных размеров

Любое тело конечных размеров правильной геометрической формы можно получить путем пересечения бесконечных тел. Например, цилиндр конечных размеров, можно получить путем пересечения бесконечного цилиндра диаметром 2и бесконечной пластины толщиной 2d.

Для нахождения распределения температуры в теле конечных размеров необходимо воспользоваться теоремой о перемножении решений. Теорема гласит: безразмерная температура тела конечных размеров в данной точке в данный момент времени равна произведению безразмерных температур в той же точке и в тот же момент времени бесконечных тел, в результате пересечения которых образовалось данное тело конечных размеров. Доказательство этой теоремы можно найти в [1].

Например, пусть необходимо найти температуру в точке 1, лежащей на поверхности бесконечного цилиндра и в центре бесконечной пластины (см. рис.1.21), в результате пересечения которых получен цилиндр конечных размеров. Решение запишется в виде

,

где – безразмерная температура на поверхности бесконечного цилиндра, определяется как функция Bi и Fо для цилиндра ; – безразмерная температура в центре бесконечной пластины, являющаяся функцией также Bi и Fо, но для пластины . Находя по соответствующим графикам и , определяют безразмерную температуру , а затем искомую температуру в точке 1.

.

Охлаждение (нагревание) тел любой формы с Bi ® 0 (Bi £ 0,1)

Если при решении задач нестационарной теплопроводности число Bi получается очень маленьким, то пользоваться вышеупомянутыми графиками для определения температуры тела почти невозможно (очень мала точность). В этом случае можно воспользоваться несложным аналитическим решением, которое получим ниже.

Постановка задачи. Пусть имеем тело, поверхность которого F, а объем V. В момент времени t = 0 избыточная температура тела . Тело охлаждается в среде с = const и a = const. Требуется найти закон распределения температуры в зависимости от объема и формы тела.

При Bi ® 0 температура всех точек тела в данный момент времени одинакова. Теплота , отдаваемая телом (поэтому знак минус), отводится в окружающую среду –. Значит,

.

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

, .

Найдем постоянную интегрирования. Запишем начальные условия: при t = 0 . Подставляя начальные условия, получаем . Тогда

или ,

так как M = r·V. Уравнение представляет собой закон изменения температуры в теле. Запишем этот закон для тел правильной формы:

• Для пластины . Подставим это в показатель степени ,

где – коэффициент температуропроводности, ,

тогда

;

• для цилиндра . Делая преобразования, аналогичные показанным выше, получим

;

• для шара получим

.

Из приведенных уравнений следует, что при одинаковой величине определяющего геометрического размера и прочих равных условиях наибольшая скорость изменения температуры – у шара.