Простейшие задачи аналитической геометрии

Прежде чем приступить к изучению алгебраических кривых и поверхностей

1 –го порядка, рассмотрим некоторые простые, часто встречающиеся задачи.

А) Вычисление расстояния между точками. Пусть в пространстве задана система координат и имеются 2 точки: М₁(x₁, y₁, z₁), М₂(x₂, y₂, z₂). Требуется найти расстояние между ними. Ясно, что это расстояние равно длине вектора . Координаты мы умеем вычислять:

= (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁).

Поэтому его длина .

Аналогично, расстояние между двумя точками М₁(x₁, y₁) и М₂(x₂, y₂) на плоскости равно . Расстояние между точками М₁, М₂ можно обозначать и без черты сверху: |М₁М₂|.

Пример 5. Найти длины сторон треугольника АВС, если его вершины находятся в точках А(3, 0, 2), В(5, – 1, 4), С(2, 1, 0).

Решение. .

Аналогично .

Б) Деление отрезка в данном отношении. Пусть даны две точки: М₁(x₁, y₁, z₁), М₂(x₂, y₂, z₂). Разделить М₁М₂ в отношении l₁: l₂ означает: найти на этом отрезке точку М(x, y, z) так, чтобы . Найдём координаты точки М. Для этого рассмотрим векторы

.

Эти векторы коллинеарны, одинаково направлены. Поэтому существует число l > 0 такое, что . Но тогда , поэтому . Получаем: (x – x₁, y – y₁, z – z₁) = (x₂ – x, y₂ – y, z₂ – z). Сравним первые координаты: (x – x₁) = (x₂ – x). Отсюда найдём x: l₂x – l₂x₁ = l₁x₂ – l₁x, l₂x + l₁x = l₁x₂ + l₂x₁, .

Аналогично .

Очевидно, формулы для плоской задачи такие же.

Пример 6. Найти точку пересечения медиан в треугольнике с вершинами

А(2, – 3), В(0, 5), С(4, 1).

Решение. Как известно из школьной геометрии, точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2: 1, считая от вершины. В нашем случае: . Найдем сначала координаты точки D. По определению медианы: . По формулам деления отрезка получаем:

, . Итак, D(2, 3). Опять применяем формулы деления отрезка для отыскания координат точки K:

Ответ: K(2, 1).

В) Пересечение линий. Рассмотрим задачу: найти точки пересечения двух кривых на плоскости. Допустим, что известны уравнения, задающие эти кривые (в некоторой системе координат):

f₁(x, y) = 0, f₂(x,y) = 0.

Так как точка пересечения лежит на каждой кривой, то она удовлетворяет каждому уравнению, т.е. удовлетворяет системе уравнений. Обратно, любое решение системы уравнений

определяет координаты точки пересечения кривых.