Ранг матрицы

В разделах 2.2., 2.3 рассматривались только квадратные матрицы. Здесь мы откажемся от этого требования. Пусть А – матрица размером m ´ n. Возьмем число k и отметим в матрице А какие–либо k строк и какие–либо k столбцов. Из элементов, стоящих на их пересечениях, составим определитель. Он называется минором k–го порядка матрицы А.

Пример 10.

Здесь М минор 2–го порядка матрицы А. Конечно, миноров 2–го порядка в этой матрице много. Миноры 1–го порядка – это просто элементы матрицы, их в нашем примере 12. Миноров 3–го порядка – 4 штуки (строки нужно включать все, а из столбцов один не включать).

Если существует минор порядка r, не равный нулю, а все миноры больших порядков равны нулю, то число r называется рангом матрицы:

r = r(A) = rang(А).

Пример 11. а) . Здесь r(A) = 1, так как легко заметить, что все миноры 2–го порядка равны 0.

Рассмотрим сначала матрицы специального вида:

Если – не равные нулю числа, то такую матрицу будем называть матрицей трапецевидной формы. Последние нулевые строки могут и отсутствовать.

Пример 12. – матрицы трапецевидной формы. В последней из них k = 1 и форма трапеции не угадывается. Однако это – частный случай матрицы трапецевидной формы. Матрица не имеет трапецевидной формы, так как в ней а₂₂ = 0.

Теорема 3. Ранг матрицы трапецевидной формы равен числу её ненулевых строк.

Доказательство. Как и в примере 11, б), рассмотрим минор порядка k,

стоящий в левом верхнем углу:

В то же время любой минор большего порядка (если такой в этой матрице найдётся) равен нулю, так как содержит нулевую строку. Значит r(A) = k. Теорема доказана.

Теперь научимся приводить любую матрицу к трапецевидной форме, не меняя её ранга. Для этого используются так называемые элементарные преобразования:

1) перестановка строк;

2) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;

3) перестановка столбцов;

4) преобразование столбцов, аналогичное указанному в пункте 2).

С этими преобразованиями мы уже встречались, изучая свойства определителей. Вспомним, что преобразования 2) и 4) не меняют величину определителя, а перестановки строк или столбцов могут лишь изменить знак. В частности, если определитель не равен нулю, то и после таких преобразований он не будет равен нулю. На основе этих рассуждений можно было бы и строго докaзать справедливость следующей теоремы.

Теорема 4. Элементарные преобразования неизменяютранг матрицы.

Теорема 5. Любую матрицу можно привести к трапецевидной форме, используя элементарные преобразования строк и перестановку столбцов.

Пример 13. Вычислить ранг матрицы .