Системы линейных уравнений

Многие практические задачи сводятся к решению систем алгебраических уравнений 1–й степени или, как их обычно называют, систем линейных уравнений. Мы научимся решать любые такие системы, не требуя даже, чтобы число уравнений совпадало с числом неизвестных.

В общем виде система линейных уравнений записывается так:

.Здесь числа a_ij – коэффициенты системы, b_i – свободные члены, x_i – символы неизвестных. Очень удобно ввести матричные обозначения: – основная матрица системы, – матрица–столбец свободных членов, – матрица–столбец неизвестных. Тогда систему можно записать так: AX = B или, подробнее:

.

Если в левой части этого равенства выполнить умножение матриц по обычным правилам и приравнять элементы полученного столбца к элементам В, то мы придём к первоначальной записи системы.

Пример 14. Запишем одну и ту же систему линейных уравнений двумя разными способами:

Система линейных уравнений называется совместной, если у неё есть хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет.

В нашем примере система совместна, столбик является её решением:

Это решение можно записать и без матриц: x = 2, y = 1. Систему уравнений будем называть неопределённой, если она имеет более одного решения, и определённой, если решение единственно.

Пример 15. Система является неопределенной. Например являются ее решениями. Читатель может найти и много других решений этой системы.

Научимся решать системы линейных уравнений сначала в частном случае. Систему уравнений АХ = В будем называть крамеровской, если её основная матрица А – квадратная и невырожденная. Другими словами, в крамеровской системе число неизвестных совпадает с числом уравнений и .

Теорема 6. (Правило Крамера). Крамеровская система линейных уравнений имеет единственное решение, задаваемое формулами:

где – определитель основной матрицы, – определитель, полученный из D заменой i –го столбика столбиком свободных членов.

Замечание. Крамеровские системы можно решать и по–другому, с помощью обратной матрицы. Запишем такую систему в матричном виде: AX = В. Так как , то существует обратная матрица А ^{– 1} . Умножаем матричное равенство на А ^{– 1} слева: А ^{– 1} АХ = А ^{– 1} В. Так как А ^{– 1} АХ = ЕХ = Х, то решение системы найдено: Х = А ^{– 1} В. Такой способ решения будем называть матричным. Ещё раз подчеркнём, что он годится только для крамеровских систем – в других случаях обратная матрица не существует. Разобранные примеры применения матричного метода и метода Крамера читатель найдёт ниже.

Изучим, наконец, общий случай – систему m линейных уравнений с n неизвестными. Для её решения применяется метод Гаусса, который мы рассмотрим подробно.Для произвольной системы уравнений АХ = В выпишем расширенную матрицу. Так называется матрица, которая получится, если к основной матрице А справа дописать столбец свободных членов В:

.

Как и при вычислении ранга, с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов будем приводить нашу матрицу к трапецевидной форме. При этом, конечно, соответствующая матрице система уравнений изменится, но будет равносильна исходной (т.е. будет иметь те же решения). В самом деле, перестановка или сложение уравнений не изменят решений. Перестановка столбцов – тоже: уравнения x₁ + 3x₂ + 7x₃ = 4 и x₁ + 7x₃ + 3x₂ = 4, конечно, равносильны. Нужно только записывать, какой неизвестной соответствует данный столбец. Столбец свободных членов не переставляем – его обычно в матрице отделяют от других пунктиром. Возникающие в матрице нулевые строки можно не писать.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Решение. Выпишем расширенную матрицу и приведем её к трапецевидной форме. Знак ~ теперь будет означать не только совпадение рангов, но и равносильность соответствующих систем уравнений.

~ . Поясним выполненные действия.

Действие 1. Ко 2–й строке прибавили 1–ю, умножив ее на ( – 2). К 3–й и 4–й строкам прибавили 1–ю, умножив ее на ( – 3). Цель этих операций – получить нули в первом столбике, ниже главной диагонали.

Действие 2. Так как на диагональном месте (2,2) оказался 0, пришлось переставить 2–й и 3–й столбики. Чтобы запомнить эту перестановку, написали сверху обозначения неизвестных.

Действие 3. K 3–й строке прибавили 2–ю, умножив ее на ( – 2). К 4–й строке прибавили 2–ю. Цель – получить нули во втором столбике, ниже главной диагонали.

Действие 4. Нулевые строчки можно убрать.

Итак, матрица приведена к трапецевидной форме. Ее ранг r = 2. Неизвестные х₁, х₃ – базисные; х₂, х₄ – свободные. Придадим свободным неизвестным произвольные значения:

х₂ = a, х₄ = b.

Здесь a, b могут быть любыми числами. Теперь из последнего уравнения новой системы

x₃ + x₄ = – 3

находим х₃ : х₃ = – 3 – b. Поднимаясь вверх, из первого уравнения

х₁ + 3х₃ + 2х₂ + 4х₄ = 5

находим х₁: х₁ = 5 – 3( – 3 – b) – 2a – 4b = 14 – 2a – b.

Записываем общее решение:

x₁ = 14 – 2a – b, x₂ = a, x₃ =– 3 – b, x₄ = b.

Можно записывать общее решение в виде матрицы–столбца:

При конкретных значениях a и b, можно получать частные решения. Например, при a = 0, b = 1 получим: – одно из решений системы.

Замечания. В алгоритме метода Гаусса мы видели (случай 1), что несовместность системы уравнений связана с несовпадением рангов основной и расширенной матриц. Приведём без доказательства следующую важную теорему.

Теорема 7 (Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы системы.