Основное уравнение кинетической теории газов

Для вывода этого уравнения предположим, что в сосуде находится идеальный газ. Молекулы газа соударяются друг с другом и со стенками сосуда. Соударения молекул друг с другом приводят только к перераспределению энергии между молекулами. Выделим некоторую элементарную площадку на стенке сосуда и рассчитаем давление газа на нее (Рис.1). При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс , где m - масса молекулы, v - ее скорость. За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой vDt. Если n - концентрация молекул, то число этих молекул - nDSvDt. Однако следует учесть, что молекулы движутся к площадке DS под разными углами и с различными скоростями. Поскольку движение молекул хаотическое, то его можно заменить движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. К тому же поскольку ни одно из направлений не имеет преимуществ перед другими, то в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 всех молекул, причем половина из них, т.е. 1/6 в одну сторону, другая половина - в противоположную. Тогда за время Dt площадку DS достигнет число молекул, равное . При столкновении с площадкой DS эти молекулы передадут ей импульс

Тогда давление, оказываемое газом на стенку сосуда, равно

. (1.1.1)

Как уже отмечалось выше, молекулы движутся с различными скоростями v_1,v₂,…, v_n_, если в объеме V газа содержится N молекул, то вместо скорости v необходимо учитывать среднюю квадратичную скорость

Тогда уравнение (1.1.1) запишется в виде

(1.1.2)

Уравнение (1.1.2) называют основным уравнением кинетической теории идеальных газов.

(1.1.3)

Поскольку концентрация n=N/V, следовательно

или ,

где áЕ ñ- средняя кинетическая энергия одной молекулы, Е - кинетическая энергия газа.

Давление пропорционально числу молекул в единице объема и среднему значению кинетической энергии молекул.

Из основного уравнения можно вывести все газовые законы, установленные экспериментально еще в XVIII столетии, для данной массы газа справедливы законы:

Бойля-Мариотта PV=const, при T=const;

Гей-Люссака при р=const и при V=const;

Дальтона p=p₁+p₂+…+p_n;

Для 1 киломоля идеального газа справедлива формула Клапейрона-Менделеева

, (1.1.4)

где R=8,314 Дж/(мольК) - универсальная газовая постоянная. Для одного моля газа N=N_A=6,02×10²³ - число Авагадро. Следовательно, число Авогадро это число молекул в моле любого вещества. Количество молекул газа при нормальных условиях (p=1,013€10^-5 Па, T=273°K), находящихся в единице объема (1м²), называется числом Лошмидта N_L=2,687×10²⁵м^-3. Оно равняется числу Авогадро, деленному на объем моля газа при нормальных условиях V_m=22,41×10^-3м³×моль^-1

Сравнивая выражения (1.1.3) и (1.1.4), получаем

С учетом постоянной Больцмана (k=R/N_A=1,38×10^-23Дж/K):

(1.1.5)

Мы получили соотношение, связывающее среднюю кинетическую энергию одной молекулы с температурой.

Температура - физическая величина, характеризующая состояние равновесия термодинамической системы и пропорциональная средней кинетической энергии хаотического движения частиц, составляющих систему.

При приведении в контакт веществ, с различными температурами, т.е. кинетическими энергиями частиц, имеет место теплообмен - выравнивание температур.

Для измерения температуры используют зависимость физических свойств веществ от температуры (контактную разность потенциалов, тепловое расширение, зависимость электрического сопротивления, излучательную способность и т.д.).

Из уравнения (1.1.4) можно рассмотреть связь между температурой, давлением и объемом для заданной массы идеального газа

где m - масса газа,

m - молярная масса газа,

n - число молей,

N- число молекул в данном объеме газа.

Поскольку для двух различных состояний одной массы газа p₁V₁=NkT₁ и p₂V₂=NkT₂, имеем т.е. (1.1.6)

Термодинамическая температура прямо пропорциональна произведению объема на давление (для заданной массы газа).

В качестве примера применения уравнения Менделеева - Клапейрона рассмотрим процесс изменения температуры и давления при постоянном объеме V=const (изохорический процесс). В этом случае удобно воспользоваться зависимостью давления от плотности и температуры

, (1.1.7)

где r=m/m - плотность газа (кг/м³).

Рис.1.1.2

График изохорического процесса в координатах р,Т (рис.1.1.2) представляет собой прямые, проходящие через начало координат. Из зависимости (1.1.7) и графика следует, что большей плотности r (или концентрации n) соответствует большее давление. С другой стороны, большему объему V (при постоянной массе m) соответствует меньший угол наклона прямой к оси абсцисс - обратная зависимость.

Пример 1. Определить температуру, при которой 4м² газа создают давление 1,5×10⁵ Па, если при нормальных условиях газ занимает объем 5м³.

Решение. В нормальных условиях V₁=5 м³, р₁=1атм=101325 Па, Т₁=273°К, необходимо найти Т₂ при V₂=4м³, р₂=1,5×10⁵ Па. Согласно (5) имеем

откуда

Пример2. Сколько молекул вы вдыхаете, если при одном вдохе получаете 1л воздуха?

Решение. Объем одного киломоля равен 22,4м³, значит 1л воздуха равен 1×10^-3/22,4=4,5×10^-5кмоль. Таким образом, 1л воздуха содержит 4,5×10^-5×6,02×10²⁶=2,7×10²² молекул.

Пример3. Что тяжелее 1м³ сухого воздуха или 1м³ влажного воздуха при одинаковых температурах и давлениях? m_возд.=29 кг/кмоль, m_воды=18 кг/кмоль.

Решение. Средняя масса молекулы сухого воздуха больше, чем у водяного пара. Число молекул в обоих случаях одинаково, но во влажном воздухе часть молекул заменена более легкими молекулами воды, следовательно, 1м³сухого воздуха тяжелее, чем 1м³ влажного.

Пример4. Как изменится давление данной массы газа при постоянном объеме, если температуру газа увеличить в 2 раза и каждая молекула при этом распадется на два атома?

Решение. , так как N и T увеличиваются в 2 раза, то давление увеличится в 4 раза.