До сих пор мы не учитывали существование внешнего силового поля (например, гравитационного). В отсутствии поля молекулы газа равномерно распределяются по всему объему, т.е. плотность газа в объеме постоянна. Если действует силовое поле, то плотность частиц и давление газа будет функцией координаты точки f(x,y,z).
Получим закон изменения давления с высотой, при условии, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова.
Рассмотрим цилиндр сечением 1м2, перпендикулярный поверхности Земли (рис.1.5.1). Разность давлений двух слоев, находящихся на различной высоте, равна весу газа между ними
.
На основании соотношения p=nkT исключаем n и получаем дифференциальное уравнение
.
Для решения этого уравнения интегрируем левую и правую части
|
,
или
Это выражение называется барометрической формулой. Так как высота обозначается относительно уровня моря, где давление обозначим р0, то это выражение может быть записано в виде
, (1.5.2)
где р - давление на высоте h.
|
|
Если вернуться к соотношению p=nkT, то можно получить распределение концентрации молекул газа по высоте
. (1.5.3)
Барометрическая формула имеет простой физический смысл: молекул меньше там, где больше их потенциальная энергия. Увеличение потенциальной энергии молекулы в поле тяготения на величину mgh связано с работой сил поля
A=mgh.
Теперь можно определить потенциальную энергию молекулы, имеющей массу m и поднятую на высоту h
U(h)=mgh.
Тогда формула (1.5.2) примет вид . Этот вариант можно обобщить на случай, когда потенциальная энергия зависит не от одной, а от всех трех координат U(x,y,z):
(1.5.4)
Это один из вариантов распределения Больцмана для идеального газа во внешнем поле.
Аналогичную формулу имеем для концентрации молекул
(1.5.5)
Функция, характеризующая среднее число молекул, находящихся в данном состоянии, называют статистическим распределением.
При рассмотрении системы из множества частиц мы предполагаем, что частицы по каким-либо признакам отличаются друг от друга. Если две частицы поменяли местами, то такие состояния рассматриваются как различные.
Модель различных частиц называют моделью Максвелла-Больцмана, а полученную при этом статистику - статистикой Максвелла-Больцманан.
Пример8. На какой высоте h над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что температура воздуха 290°К, g=9,8 м/с2, R=8,3×103Дж×кмоль×к-1, m=29 кг/кмоль, p/p0=1/2.
Решение. Из барометрической формулы следует
или т.е. , из полученного соотношения имеем
поскольку k=R/NA и m=m/NA, получаем - искомая высота.