В равновесном состоянии в системе, состоящей из огромного числа частиц, например в некотором объеме газа, при отсутствии внешних воздействий не происходит макроскопических изменений: параметры системы остаются постоянными. Постоянным остается и среднее значение скорости молекул. Ответ на вопрос, сколько молекул, или какая их часть движется с определенной скоростью в данный момент, был теоретически получен Максвеллом.
Введем понятие пространства скоростей. Для каждой молекулы откладываем компоненты ее скорости по трем взаимно перпендикулярным осям (рис. 1.3.1).
Каждая точка в пространстве скоростей соответствует одной молекуле с определенной скоростью. Вектор скорости идет от начала координат к рассматриваемой точке.
Рассмотрим, как будут распределены молекулы, содержащиеся в единичном объеме газа по скоростям.
Эти молекулы будут изображаться совокупностью из n точек. Из-за столкновений молекул какие-то точки будут выходить из элемента объема, а другие входить в него. Однако среднее число точек в данном элементе объема сохраняется.
|
|
Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), которая называется функция распределения молекул по скоростям. Функция f(v) определяет относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, т.е.
, откуда .
Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел эту функцию:
(1.3.1)
Из формулы видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы m0) и от параметра состояния (температуры T).
График функции f(v) приведен на рис.1.3.2. Функция f(v) начинается от нуля, достигает максимума при vв и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая не симметрична относительно vв.
Распределение Максвелла - это распределение по скоростям молекул идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия.
Интегрируя распределение Максвелла, можно рассчитать средние величины. Средний квадрат скорости (средняя квадратичная скорость)
Рис.1.3.2.
Рис.1.3.2
1.3.2)
|
(1.3.3)
Для того, чтобы найти число молекул, обладающих скоростями в интервале от v1 до v2, необходимо определить площадь под соответствующим участком кривой (рис.1.3.2.)
При увеличении температуры максимум кривой Максвелла смещается в сторону больших скоростей и вид кривой изменяется. Распределения для двух разных температур приведены на рис.1.3.3. Поскольку площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, следовательно, при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.
|
|
Рис.1.3.3 Т1< Т.
Среднее значение абсолютной величины скорости (среднее значение скорости равно нулю, так как отрицательное и положительное значения компонент равноправны) определяется по формуле
(1.3.4)
Таким образом, скорости, характеризующие состояние газа:
1) наиболее вероятная ;
2) средняя скорость ;
3) средняя квадратичная .
Эти скорости связаны соотношением
vВ: ávñ: ávквñ @1:1,13:1,22,
то есть средняя квадратичная скорость имеет наибольшую величину.
Исходя их распределения молекул по скоростям, перейдя к новой переменной Е=m0v2/2, можно получить функцию распределения молекул по энергиям
(1.3.5)
Тогда средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа равна
(1.3.6)
Для того, чтобы рассчитать количество молекул DN, скорости которых находятся в промежутке от v до v+Dv, удобно ввести относительную скорость u=v/vВ, где vВ - наиболее вероятная скорость. Тогда DN - число молекул, относительные скорости которых находятся в интервале u, u+Du, т.е. v/vв, v+Dv/vВ, где должно быть Dvv. Таким образом, имеем
где N - полное число молекул газа, DN/N - относительное число (доля) молекул, имеющих скорости в интервале u, u+Du. График этой зависимости соответствует рис.1.3.2, если по оси абсцисс отложить u, а по оси ординат величину DN/(NDu) - функцию распределения.
Пример7. Определить среднеквадратичную скорость молекул азота при температуре 27°С. Как зависит средне квадратичная скорость от молекулярной массы и температуры?
Т=300°К, m=28 кг/кмоль, k=1,38×10-23Дж/град.
Решение. где ;
Таким образом
Средняя квадратичная скорость прямо пропорциональна корню квадратному из температуры и обратно пропорциональна корню квадратному из молекулярной массы.