Уравнение Слуцкого

В модели с двумя товарами, повышение цены первого товара имеет два эффекта.

Во-первых, при прочих равных условиях подорожание первого товара делает второй сравнительно более предпочтительным. Поэтому потребитель будет склонен увеличить потребление второго товара за счет первого. Этот эффект называется эффектом замещения.

Во-вторах, подорожание первого товара по существу уменьшает реальный доход потребителя. Этот эффект называется эффектом дохода. Влияние эффекта дохода на потребление второго товара зависит от того, является ли он нормальным или субнормальным. Если второй товар – нормальный, то его потребление должно сократиться. Таким образом, эффекты замещения и дохода будут в этом случае действовать в разных направлениях и суммарный эффект подорожания первого товара на потребление второго неопределен.

Действие эффектов замещения и дохода для случая нормальных товаров иллюстрируется рисунком 5.3.

Рисунок 5.3 – Эффект замещения и эффект дохода

Обозначим оптимальное потребление до изменения цен точкой А, а оптимальное потребление при новых ценах – точкой В. Чтобы изобразить на графике действие двух вышеупомянутых эффектов, проведем следующий мысленный эксперимент. Предположим, одновременно с изменением цен мы скомпенсируем доход потребителя таким образом, чтобы его уровень жизни не пострадал (т.е. полезность осталась неизменной). Для того, чтобы найти минимальный доход, необходимый потребителю для сохранения старого уровня полезности, проведем бюджетную линию при новых ценах, касательную к старой кривой безразличия. Касание произойдет в точке С слева от точки А, поскольку относительное подорожание первого товара сделало второй более привлекательным. Тогда скольжение от точки А к точке С вдоль старой кривой безразличия и будет эффектом замещения, а сдвиг от точки С к точке В – эффектом дохода. Суммарный же эффект будет изображаться движением от точки А к точке С.

Таким образом,

Полный эффект =Эффект замещения +Эффект дохода

Эта декомпозиция называется декомпозицией Слуцкого.

Теперь рассмотрим задачу аналитически.

Пусть при доходе и ценах потребитель получает уровень полезности . Согласно одному из тождеств теории спроса, (4.4),

Продифференцируем по :

Согласно лемме Шепарда,

Подставив в, получим:

или

Формула называется уравнением Слуцкого. В этой формуле первое слагаемое выражает эффект замещения, а второе – – эффект дохода.

В модели с двумя товарами эффект изменения цены первого товара на потребление второго будет равен:

Дадим краткое резюме. Повышение цен на 1-й товар делает 2-й товар сравнительно предпочтительнее. В результате потребитель будет стремиться увеличить потребление 2-го товара за счет 1-го. В этом заключается эффект замещения. В вышеприведенной формуле он описывается слагаемым и всегда будет положительным. С другой стороны, повышение цен на 1-й товар приводит к снижению реальных доходов потребителя. В результате, если оба товара нормальные – потребитель сократит потребление как 1-го товара, так и 2-го. В этом заключается эффект дохода, выражаемый слагаемым . В случае, когда 2-й товар – нормальный, это слагаемое будет положительным; эффект дохода и эффект замещения действуют в противоположных направлениях и суммарный эффект не определен. Если 2-й товар – субнормальный, то будет отрицательным; эффекты дохода и замещения действуют в одном и том же направлении и потребление 2-го товара однозначно увеличится.

Теперь применим уравнение Слуцкого для ответа на вопрос, как повышение цены одного из товаров повлияет на его собственное потребление. Закон спроса, известный вам по вводному курсу микроэкономики, утверждает, что чем больше цена товара, тем меньше спрос. Проверим, всегда ли справедливо это утверждение. Воспользовавшись формулой, получим:

При повышении цены 1-го товара первое слагаемое в этой формуле всегда будет отрицательным. Если 1-й товар – нормальный, то

т.е. для нормальных товаров закон спроса всегда выполняется:

Если же 1-й товар – субнормальный, то и знак производной неопределен. Таким образом, для субнормальных товаров закон спроса выполняется не всегда. Товары, для которых , т.е. спрос растет с ростом цен, называется товарами Гиффена.