Примеры решения задач. 6.2.1 Задача 1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U

6.2.1 Задача 1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля l для двух случаев: 1) U =51 В; 2) U =510 кВ.

Дано: u 0 = 0 1) U = 51 В 2) U = 510 кВ	Решение: Длина волны де Бройля для микрочастицы зависит от ее импульса р и определяется формулой l = , (6.1)
l 1 -? l 2-?

где h –постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия W _к. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случае

р = , (6.2)

где – m₀ масса покоя частицы.

В релятивистском случае

р = , (6.3)

где Е₀ = m₀ с ² – энергия покоя частицы.

Формула (6.1) с учетом соотношений (6.2) и (6.3) запишется:

1) в нерелятивистском случае

l = , (6.4)

2) в релятивистском случае

l = . (6.5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U = 51 В и U = 510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (6.4) или (6.5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равна:

W_к = е U.

В первом случае W_к1 = еU₁ = 51 эВ = 0,51×10^-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е₀ = m₀ с² =0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (6.4). Для упрощения расчетов заметим, что W_к1 = 10^-4 m₀с². Подставив это выражение в формулу (6.4), перепишем ее в виде:

l ₁ = = . (6.6)

Проверим единицы:

[ λ ] = .

Подставим в формулу (6.6) числовые значения, воспользовавшись таблицей 1, и произведём расчёты:

l ₁= м =0,172^.10^{-9 м = 172пм.}

Во втором случае кинетическая энергия W_к2 = еU₂ = 510 кэВ = 0,51 МэВ, то есть равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (6.5). Учитывая, что W_к2 = 0,51МэВ = m₀с ², по формуле (6.5) находим:

l ₂= = .

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

l ₂ = м = 1,40 пм.

Ответ: l ₁=171 пм, l ₂=1,40 пм.

6.2.2 Задача 2. Кинетическая энергия W_к электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Дано: Wк =10 эВ=1,6 ×10-18 Дж	Решение: Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид D х Dр ³ , (6.7)
l min -?

где D х- неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона);

D р - неопределенность импульса частицы (электрона);

- постоянная Планка h, деленная на 2p.

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то пределах области с неопределенностью

D х = l / 2 (6.8)

Соотношение неопределенностей (6.7) можно записать в этом случае в виде

D р ³ ,

откуда

l ³ . (6.9)

Физически разумная неопределенность импульса D р, во всяком случае не должна превышать значения самого импульса р, т.е. D р £ р. Согласно выражению (6.9) l достигает минимального значения, если D р максимально, т.е. D р = р. Таким образом

l _min = 2 / р.

Импульс р связан с кинетической энергией W_к соотношением

р = ,

следовательно:

l_min = . (6.10)

Проверим единицы физических величин в формуле (6.10):

[ l_min ] = = = м.

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

l_min = м =1,24×10^{-10 м = 124 пм.}

Ответ: l_min = 124 пм