1-10. Найти области определения данных функций
1. а) ; | б) . |
2. а) ; | б) . |
3. а) ; | б) . |
4. а) ; | б) . |
5. а) ; | б) . |
6. а) ; | б) . |
7. а) ; | б) . |
8. а) ; | б) . |
9. а) ; | б) . |
10. а) ; | б) . |
11-20. Вычислить пределы:
11. а) ; | б) ; | в) ; | |
г) ; | д) . | ||
12. а) ; | б) ; | в) ; | |
г) ; | д) . | ||
13. а) ; | б) ; | в) ; | |
г) ; | д) . | ||
14. а) ; | б) ; | в) ; | |
г) ; | д) . | ||
15. а) ; | б) ; | в) ; | |
г) ; | д) . | ||
16. а) ; | б) ; | в) ; | |
г) ; | д) . | ||
17. а) ; | б) ; | в) ; | |
г) ; | д) . | ||
18. а) ; | б) ; | в) ; | |
г) ; | д) . | ||
19. а) ; | б) ; | в) ; | |
г) ; | д) . | ||
20. а) ; | б) ; | в) ; | |
г) ; | д) . | ||
21-30. Найти первые производные функций. В заданиях а) и б)дополнительно найти вторые производные.
21. a) ; | г) ; |
б) ; | д) ; |
в) ; | е) . |
22. a) ; | г) ; |
б) ; | д) ; |
в) ; | е) . |
23. а) ; | г) ; |
б) ; | д) ; |
в) ; | е) . |
24. а) ; | г) ; |
б) ; | д) ; |
в) ; | е) . |
25. а) ; | г) ; |
б) ; | д) ; |
в) ; | е) . |
26. а) ; | г) ; |
б) ; | д) ; |
в) ; | е) . |
27. а) ; | г) ; |
б) ; | д) ; |
в) ; | е) . |
28. а) ; | г) ; |
б) ; | д) ; |
в) ; | е) . |
29. а) ; | г) ; |
б) ; | д) ; |
в) ; | е) . |
30. а) ; | г) ; |
б) ; | д) ; |
в) ; | е) . |
31-40. Найти уравнение касательной к параболе, проходящей параллельно данной прямой. Сделать чертеж.
31. y = x2 – 4x + 3, y = 4x + 4. | 36. y = x2 + 2x – 3, y = – 4x + 2. |
32. y = – x2 – 2x + 3, y = –2x – 2. | 37. y = –x2 – 2x + 3, y = 4x – 3. |
33. y = x2 – 6x + 8, y = 6x + 1. | 38. y = x2 + 8x – 9, y = 4x. |
34. y = – x2 – 2x + 3, y = – 6x + 4. | 39. y = – x2 + 4x, y = 2x. |
35. y = x2 + 8x – 9, y = 2x + 1. | 40. y = x2 – 2x – 3, y = 6x + 3. |
41-50. Для функции, заданной параметрически, найти и .
41. | 46. |
42. | 47. |
43. | 48. |
44. | 49. |
45. | 50. |
51-60. Найти значение в точке для функции, заданной неявно.
51. x2 + 2y2 + 6x – 4y – 13 = 0, M (1;-1). |
52. x3 – x y + y + 7 = 0, M (-1;-3). |
53. 3x2 – x y + y3 – x = 0, M (0;2). |
54. 3x2 – x y + y 2 +x – 34 = 0, M (-2;4). |
55. x2 y2 – 4y3 – x = 4, M (0;-1). |
56. x 6 + y 6 – 2xy = 0, M (1;1). |
57. 7x2 + x y – y3 + 3 = 0, M (1;-2). |
58. 2x2 – 9y2 + 4x + 18y + 11 = 0, M (2;-1). |
59. 3x2 – 5y2 – 6x – 20y + 25 = 0, M (2;1). |
60. 2x5 + y5 – 2xy + 26 = 0, M (1;-2). |
61-70. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.
61. а) ; | б) . |
62. а) ; | б) . |
63. а) ; | б) . |
64. а) ; | б) . |
65. а) ; | б) . |
66. а) ; | б) . |
67. а) ; | б) . |
68. а) ; | б) . |
69. а) ; | б) . |
70. а) ; | б) . |
81-90. Проверить справедливость равенства.
81. , если . |
82. , если . |
83. , если . |
84. , если . |
85. , если . |
86. , если . |
87. , если . |
88. , если . |
89. , если . |
90. , если . |
91-100. Исследовать сходимость числовых рядов.
91. а) ; | б) ; | в) ; |
г) ; | д) ; | е) . |
92. а) ; | б) ; | в) ; |
г) ; | д) ; | е) . |
93. а) ; | б) ; | в) ; |
г) ; | д) ; | е) . |
94. а) ; | б) ; | в) ; |
г) ; | д) ; | е) |
95. а) ; | б) ; | в) ; |
г) ; | д) ; | е) . |
96. а) ; | б) ; | в) ; |
г) ; | д) ; | е) . |
97. а) ; | б) ; | в) ; |
г) ; | д) ; | е) . |
98. а) ; | б) ; | в) ; |
г) ; | д) ; | е) . |
99. а) ; | б) ; | в) ; |
г) ; | д) ; | е) . |
100. а) ; | б) ; | в) ; |
г) ; | д) ; | е) . |
101-110. Найти область сходимости степенного ряда.
101. . | 102. . | 103. |
104. . | 105. . | 106. . |
107. . | 108. . | 109. . |
110. . |
Список литературы.
1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1999.
3. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1987.
4. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 1994.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1978.