2015-01-30
393
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
В ходе выполнения данной работы учащийся должен изучить основные особенности класса задач оптимизации, относящихся к задачам нелинейного программирования, а также научиться применять полученные знания на практике.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Общим для методов нелинейного программирования является то, что их используют при решении задач с нелинейными критериями оптимальности. Все методы нелинейного программирования - это численные методы поискового типа. Суть их - в определении набора независимых переменных, дающих наибольшее приращение оптимизируемой функции. Данная группа методов применяется как для детерминированных, так и стохастических процессов.
Методы решения задач нелинейного программирования (условной многопараметрической оптимизации) подразделяют следующим образом:
o методы прямого поиска:
§ модифицированный метод Хука-Дживса;
- метод комплексов;
- метод случайного поиска.
- методы штрафных функций;
- методы линеаризации.
Функции n-переменных. Необходимые и достаточные условия.
|
|
|
Рассмотрим функцию n действительных переменных
f(x1,x2,...,xn) = f(x)
Точка в n-мерном евклидовом пространстве с координатами x1,x2,x3,...,xn обозначается вектором-столбцом x. Градиент функции, т.е. вектор с компонентами
f / x1, f / x2,..., f / xn,
обозначается Ñ f (x) или, иногда, g (x). Матрица Гессе (гессиан) функции f (x) обозначается как G(x) и является симметричной матрицей n x n элементов вида
Gij = 2 f/ xi xj
Функция f (x) имеет локальный минимум в точке x0, если существует окрестность точки x0, такая, что f (x) > f (x0) во всех точках этой окрестности, т.е. существует положительная величина d, такая, что для | x - x0 | < d справедливо неравенство f (x) >= f (x0).
В случае глобального минимума в точке x* для всех x справедливо неравенство f (x) >= f (x*).
При таких определениях и очевидных предположениях относительно дифференцируемости можно обобщить уравнение (2.2) из темы №2 и получить:
f(x0+h)-f(x0)= 
hi 
(x1,x2,..,xn)+ 
hihj 
(x1,x2,..,xn)+... =h 
+ 
hTG(x0)h+... (4)
Тогда, если x0 является точкой минимума функции f (x), то каждая первая частная производная f / xi (i = 1,...,n) должна обращаться в нуль в точке x0. Если это не так, то соответствующим выбором hi можно добиться того, что разность f (x0 + h) - f (x0 ) будет отрицательна.
Следовательно, необходимым условием минимума в точке x0 является уравнение
Ñ f (x0)= 0;(5)
т.е.
f (x0) / xi = 0, (i=1,...,n), (6)
Тогда знак разности f (x0 + h) - f (x0) определяется членом:
1/2 hTG (x0) h (7)
Если матрица G (x0) положительно определена, то этот член положителен для всех h. Следовательно, необходимыми и достаточными условиями минимума являются:
Ñ f (x0) = 0, G (x0) положительно определена. (8)
|
|
|
Необходимыми и достаточными условиями максимума являются:
Ñ f (xm) = 0, G(xm) отрицательно определена. (9)
