Прогиб балки d(х)

Чтобы вычислить величину прогиба, предположим, что балка представляет собой консоль с вылетом L. Тогда

d(x)=(4FL³)/(Ex₃³x₄).

В решаемой задаче необходимо предусмотреть:

· практическую невозможность получения сварного шва, ширина которого превышает ширину балки;

· неотрицательность оптимизируемых переменных

· физическую невозможность сделать сварной шов, ширина которого меньше некоторого порогового значения.

Вариант 7. Задача о кислородном конверетер.

Кислородный конвертор, используемый в производстве стали, представляет собой химический реактор периодического действия, который потребляет чистый кислород. Процесс функционирования конвертoра - циклический.

Руда и флюс загружаются в реактор, взаимодействуют в течение определенного периода времени, а затем продукты взаимодействия выводятся наружу. Этот циклический процесс связан с периодическими изменениями скорости потребления кислорода. Каждый цикл состоит из временного интервала длины t₁, на котором расход кислорода в единицу времени невелик и равен D₀, и временного интервала (t₂ - t₁), которому соответствует высокая скорость потребления D₁. Используемый в конверторе кислород производится на специальной установке в соответствии с распространенным технологическим способом, который позволяет получать кислород из воздуха путем охлаждения и дистилляции. Кислородные установки отличаются высоким уровнем автоматизации и, как правило, имеют постоянную производительность. Для того чтобы соединить непрерывно действующую кислородную установку с циклически функционирующим конвертором, необходимо разработать проект простой системы управления запасами (рис.1), состоящей из компрессора и резервуара для хранения кислорода. Рассмотрим возможные проекты.

В самом простом случае производительность кислородной установки можно выбрать равной D₁, наибольшей скорости потребления кислорода. В течение интервала времени, которому соответствует низкий расход кислорода, излишек газа придется выпускать в атмосферу. С другой стороны, можно выбрать кислородную установку с такой производительностью, которая позволила бы в течение одного цикла получать количество кислорода, требуемое для обеспечения нормальной работы конвертора. В интервале времени, когда расход газа невелик, излишек кислорода под давлением накапливался бы в резервуаре для последующего использования в течение интервала времени, которому соответствует высокая скорость потребления. Все промежуточные проекты отличаются от рассмотренных различными сочетаниями запасов и потерь кислорода. Задача заключается в том, чтобы выбрать оптимальный проект.

Рисунок 1 - Проект простой системы управления запасами

Изучаемая система состоит из установки для производства кислорода, компрессора и резервуара для хранения газа. Характеристики кислородного конвертера и цикла потребления кислорода предполагаются заданными, так как определяются внешними по отношению к системе факторами. Характеристический показатель качества проекта естественно выбрать в виде полных затрат в единицу времени, которые включают затраты на производство кислорода (постоянные и переменные), затраты на эксплуатацию компрессора, а также постоянные издержки, связанные с приобретением компрессора и резервуара для хранения кислорода. Основными независимыми переменными являются производительность кислородной установки F (кг О₂/ч), проектная мощность компрессора H (л.с.), проектная емкость резервуара V (м³) и максимальное давление в резервуаре р (Н/м²). Предполагается, что кислородная установка является стандартной и поэтому полностью характеризуется своей производительностью. Кроме того, предполагается также, что резервуар отвечает требованиям обычного проекта и предназначен для хранения кислорода.

Модель системы включает основные соотношения, с помощью которых можно описать взаимосвязи между независимыми переменными.

Пусть I_макс - максимальное количество кислорода, запасенного в резервуаре; используя скорректированное уравнение газового состояния, получим

V = (I _макс/M)(RT/p)z (1)

где

R - универсальная газовая постоянная,
Т - температура газа (предполагается постоянной),
z - коэффициент сжимаемости,
М - молекулярный вес кислорода.

Максимальное количество кислорода, которое должно быть запасено в резервуаре, равняется площади, ограниченной кривой потребления между точками t₁ и t₂, D₁ и F. Таким образом,

I_макс = (D₁ - F)(t₂ - t₁) (2)

Конструкция компрессора должна обеспечивать управление потоком газа, обладающим скоростью (D₁-F)(t₂-t₁)/t₁, и повышение давления газа до максимального значения р. В предположении, что газ идеальный, а процесс сжатия изотермический, имеем

(3)

где
k₁ - переводной коэффициент,
k₂ - коэффициент полезного действия компрессора,
р₀ - начальное давление кислорода.

Эти уравнения необходимо дополнить неравенством, устанавливающим, что производительность кислородной установки F не должна быть меньше средней скорости потребления кислорода. Кроме того, максимальное давление в резервуаре должно превышать начальное давление кислорода.

Характеристический показатель качества проекта включает затраты на производство кислорода:

C₁ (долл./год) =a₁+a₂F, (4)

где a₁ и a₂- эмпирически определяемые параметры для установок рассматриваемого типа, связанные с затратами на топливо, воду и рабочую силу.

Капитальные затраты на приобретение резервуара для хранения кислорода находятся с помощью следующей степенной зависимости:

, (5)

где b₁ и b₂ - эмпирически определяемые постоянные, отражающие специфические особенности конструкции резервуара. Капитальные затраты, связанные с приобретением компрессора, вычисляются с помощью аналогичной формулы:

(6)

Затраты на эксплуатацию компрессора приближенно описываются выражением b₅t₁H,

где b₅ - затраты на эксплуатацию компрессора единичной мощности в единицу времени.

Таким образом, функцию полных издержек можно записать в следующем виде:

Полные годовые затраты = (7)

где
N - число циклов потребления кислорода, реализуемых в течение года,
d - весовой коэффициент.

Вариант 8 Оптимальное проектирование диска турбины

Необходимо спроектировать диск турбины со следующими заданными свойствами:
· Масса диска W должна быть минимальна
· Должно удовлетворяться требование по прочности

где s₀ - предельно допустимое давление, s_t и s_q- радиальное и тангенциальное давление соответственно.
· Заданы ограничения на пределы изменения толщины диска.

Диск турбины можно рассматривать как вращающийся круглый диск переменной толщины (рис.1). Масса такого диска выражается с помощью формулы, связывающей a₁ и a_m - внутренний и внешний радиусы соответственно; р- плотность; h(r) -толщина диска на расстоянии r от оси вращения.

Минимум достигается подбором функции h (r). Однако эту функцию нельзя изменять произвольно, так как должны быть выполнены требования к прочности диска при воздействии сил, возникающих во время его вращения.

Уравнение равновесия сил для вращающегося диска имеет вид:

где s_t и s_q - радиальное и тангенциальное давление соответственно, а w - частота вращения диска. Это уравнение справедливо в предположении радиальной симметрии сил в плоскости, ортогональной к оси вращения.

Cилы могут быть выражены через величину радиального смещения u(r) c помощью следующих соотношений:

e_r=du/dr; e_q=u/r; (3.4)

где e_r и e_q - радиальная и тангенциальная деформации; E- модуль Юнга и n- отношение Пуассона.

Подставляя уравнения (3) и (4) в (2), получаем:

Отсюда следует, что для определения u(r) необходимо знать геометрию диска, т.е. h=h(r), a₁<=r<=a_m. В этом случае u(r) определится как решение краевой задачи для уравнения (3.5) с граничными условиями:

В результате решения краевой задачи и последующего применения формул (3.3) и (3.4) можно определить давления s_t и s_q.

Кроме условия равновесия сил при вращении диска, должны удовлетворяться требования по прочности. Соответствующее ограничение имеет вид:

(3.7)

где s₀ - предельно допустимое давление.

Наконец, ограничения на пределы изменения толщины диска заданы следующим образом:

где e - нижний предел толщины, заданный из технологических соображений; a_m-a_m-1 =const.

Исходные данные для оптимизации:

w = 150 (число оборотов диска в секунду) рад/с
r = 7800 (плотность металла) кг/м³
s₀ = 20*10⁶(предельное напряжение) кг/м²
E = 20.6*10⁹ (модуль Юнга) кг/м²